Question

【題目】已知冪函數(shù)f(x)＝x (m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足(a＋1) <(3－2a) 的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】.

【解析】試題分析: 冪函數(shù)f(x)＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可得m2－2m－3<0,且m∈N*,可得m的值為1或2,又圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù),將m=1和m=2分別代入檢驗,可得m=1成立,即f(x)＝;又函數(shù)在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，按照a+1與3-2a在同一單調(diào)區(qū)間上和不在同一區(qū)間上分三種情況討論,解出不等式求出a的取值范圍.

試題解析:

∵冪函數(shù)f(x)＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.

又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)，而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，

∴m＝1.

而f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，∴(a＋1) <(3－2a) 等價于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<.

故a的取值范圍為.