Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）若a=2

3

，b=c=2，求角A的大�。�
（2）若a=2，A=

π

3

，C=

π

4

，求b邊的長(zhǎng)．
（3）若△ABC為等腰三角形，腰AC邊上的中線長(zhǎng)為6m（m＞0），求△ABC面積的最大值．（用常數(shù)m表示）

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，將已知的a，b及c的值代入，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由A和C的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，再由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理即可求出b的值；
（3）設(shè)BD為AC邊上的中線，根據(jù)等底同高得到三角形ABD的面積與三角形BCD的面積相等，都等于三角形ABC面積的一半，然后以BD所在的直線為x軸，線段BD的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得出B和D的坐標(biāo)，設(shè)出A的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)AB等于2AD列出關(guān)系式，整理后得到A的軌跡方程，進(jìn)而確定出y的最大值即為三角形ABD中BD邊上的高的最大值，由底BD為6m，利用三角形的面積公式求出三角形ABD面積的最大值，即可得到三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）∵a=2

3

，b=c=2，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=

2π

3

；…（4分）
（2）∵A=

π

3

，C=

π

4

，
∴B=π-（A+C）=

5π

12

，…（6分），
∴sinB=sin

5π

12

=sin（

π

6

+

π

4

）=sin

π

6

cos

π

4

+cos

π

6

sin

π

4

=

2 + 6

4

，
又a=2，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理得：

2

3 2

=

b

sin 5π 12

，
∴b=

3 2 + 6

3

；…（8分）

（3）設(shè)AC邊上的中線為BD，則S_△ABC=2S_△ABD，
以BD所在直線為x軸，其垂直平分線所在直線為y軸作直角坐標(biāo)系xoy，
如圖所示，設(shè)點(diǎn)A（x，y），
則由AB=2AD得：

(x+3m)2+y2

=2

(x-3m)2+y2

，
整理后，得到點(diǎn)A的軌跡方程為（x-5m）²+y²=16m²（y≠0），
∴當(dāng)x=5m時(shí)，y的最大值為4m，即△ABD中BD邊上的高的最大值為4m．
∴△ABD面積的最大值為12m²，
∴△ABC面積的最大值為24m²．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的內(nèi)角和定理，特殊角的三角函數(shù)值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，兩點(diǎn)間的距離公式，中線的性質(zhì)，其中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程，進(jìn)而確定出y的最大值，即△ABD中BD邊上的高的最大值是解本題的關(guān)鍵．