Question

在極坐標系中，已知圓C的圓心C(3,)，半徑為1.Q點在圓周上運動，O為極點.

(1)求圓C的極坐標方程；

(2)若P在直線OQ上運動，且滿足，求動點P的軌跡方程.

Answer 1

思路分析：在△OCM中,根據(jù)余弦定理,可找到圓C上的任意一點M的ρ、θ之間的關系；通過比例,可找到Q點與P點極坐標之間的關系,從而求出點P的軌跡方程.

解：(1)設M(ρ,θ)為圓C上任意一點,如圖,在△OCM中,|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1,

∠COM=|θ-|,根據(jù)余弦定理,得1=ρ²+9-2·ρ·3·cos|θ-|.化簡整理,得ρ²-6·ρcos(θ-)+8=0為圓C的軌跡方程.

(2)設Q(ρ₁,θ₁),則有ρ₁²-6·ρ₁cos(θ₁-)+8=0.①

設P(ρ,θ),則OQ∶QP=ρ₁∶(ρ-ρ₁)=2∶3.

∴ρ₁=ρ.

又θ₁=θ,即

代入①,得ρ²-6·ρcos(θ-)+8=0.

整理,得ρ²-15ρcos(θ-)+50=0.它為P點的軌跡方程.