Question

1．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，且c=2，則△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用二倍角公式求得cosC的值，再利用余弦定理、基本不等式求得ab的最大值，可得△ABC的面積$\frac{1}{2}$ab•sinC 的最大值．

解答 解：△ABC中，∵4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，∴2[1-cos（A+B）]-（2cos²C-1）=$\frac{7}{2}$，
化簡可得 cos²C-cosC+$\frac{1}{4}$=0，解得cosC=$\frac{1}{2}$．
∵c=2，則由余弦定理可得4=a²+b²-2ab•cosC≥2ab-2ab•$\frac{1}{2}$，∴ab≤4，
故△ABC的面積$\frac{1}{2}$ab•sinC 的最大值為$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查二倍角公式、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．