Question

14．設θ∈（${-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$），則關于θ的方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ的解的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 首先可判斷方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ若有解，解在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}}$）上，再令f（θ）=2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$-tanθ，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及取值情況即可．

解答 解：∵2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$＞0，
∴方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ若有解，解在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}}$）上，
令f（θ）=2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$-tanθ，
則f（θ）=2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$-tanθ在[0，$\frac{π}{2}}$）上是減函數(shù)，
f（0）=$\frac{1}{2}$-0=$\frac{1}{2}$，
$\underset{lim}{θ→\frac{π}{2}}$（2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$-tanθ）=-∞；
故方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ在[0，$\frac{π}{2}}$）上有且只有一個解，
故關于θ的方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ的解的個數(shù)為1，
故選B．

點評 本題考查了根的個數(shù)的判斷，應用到了方程與函數(shù)的關系及函數(shù)的單調(diào)性及取值的判斷，屬于基礎題．