Question

【題目】已知F1 ， F2為橢圓 的左、右焦點，F(xiàn)2在以 為圓心，1為半徑的圓C2上，且|QF1|+|QF2|=2a．

（1）求橢圓C1的方程；
（2）過點P（0，1）的直線l1交橢圓C1于A，B兩點，過P與l1垂直的直線l2交圓C2于C，D兩點，M為線段CD中點，求△MAB面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：圓C2的方程為 ，

此圓與x軸相切，切點為

∴ ，即a2﹣b2=2，且 ，

又|QF1|+|QF2|=3+1=2a．

∴a=2，b2=a2﹣c2=2

∴橢圓C1的方程為 ．

（2）

解：當(dāng)l1平行x軸的時候，l2與圓C2無公共點，從而△MAB不存在；

設(shè)l1：x=t（y﹣1），則l2：tx+y﹣1=0．

由 ，消去x得（t2+2）y2﹣2t2y+t2﹣4=0，

則 ．

又圓心 到l2的距離 ，得t2＜1．

又MP⊥AB，QM⊥CD

∴M到AB的距離即Q到AB的距離，設(shè)為d2，

即 ．

∴△MAB面積

令

則 ．

∴△MAB面積的取值范圍為 ．

【解析】（1）圓C2的方程為 ，由此圓與x軸相切，求出a，b的值，由此能求出橢圓C1的方程．（2）設(shè)l1：x=t（y﹣1），則l2：tx+y﹣1=0，與橢圓聯(lián)立，得（t2+2）y2﹣2t2y+t2﹣4=0，由此利用弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出△MAB面積的取值范圍．