Question

19．已知f（x）=xlnx-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[4，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）令h（x）=e^x-2ax-1-f（x），若函數(shù)h（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)的單調(diào)性，通過導函數(shù)的符號，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果．
（Ⅱ）h（x）=e^x-1-xlnx-ax（x＞0），利用函數(shù)的零點，構(gòu)造函數(shù)$F（x）=\frac{{{e^x}-xlnx-1}}{x}$（x＞0），通過導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的零點推出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知x＞0，f'（x）=lnx+1-a．
f（x）在[4，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)⇒f'（x）=lnx+1-a≥0在[4，+∞）上恒成立
⇒a≤（lnx+1）_min，x≥4
?a≤1+2ln2．
（Ⅱ）由題意知h（x）=e^x-1-xlnx-ax（x＞0），
由h（x）=0$（x＞0）⇒a=\frac{{{e^x}-xlnx-1}}{x}$（x＞0），
令$F（x）=\frac{{{e^x}-xlnx-1}}{x}$（x＞0），
∴$F'（x）=\frac{{（{e^x}-1）（x-1）}}{x^2}$，
由于x＞0，可知e^x-1＞0，
當x＞1時，F(xiàn)'（x）＞0；當0＜x＜1時，F(xiàn)'（x）＜0，
故F（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，
在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以F（x）≥F（1）=e-1，
函數(shù)h（x）有兩個零點⇒a＞e-1，
因此實數(shù)a的取值范圍是（e-1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的零點的判斷與應用，考查分析問題解決問題的能力．