Question

已知點(diǎn)P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，以P為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F₂，且

OP

•

OF2

=2，tan∠OPF2=

2

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（-1，0），設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過(guò)Q、M兩點(diǎn)的直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)N，若

NQ

=2

QM

，求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅲ）作直線(xiàn)l₁與橢圓D：

x2

a2

+

2y2

b2

=1交于不同的兩點(diǎn)S，T，其中S點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），若點(diǎn)G（0，t）是線(xiàn)段ST垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

GS

•

GT

=4，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出PF₂⊥OF₂，設(shè)r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距，由

OP

•

OF2

=2，tan∠OPF2=

c

r

=

2

，求出c=

2

，r=1，再由點(diǎn)P(±

2

，1)在橢圓，求出a²=4，b²=2，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1），由N（0，k），Q（x₁，y₁），

NQ

=2

QM

，能求出直線(xiàn)l的方程．
（Ⅲ）由題意知橢圓D：

x2

4

+y2=1，設(shè)直線(xiàn)l₁的方程為y=k（x+2），把它代入橢圓D的方程得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，利用韋達(dá)定理能求出滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)t的值．

解答： （本小題滿(mǎn)分14分）
解：（Ⅰ）由題意知，在△OPF₂中，PF₂⊥OF₂，
由tan∠OPF2=

2

，得：cos∠POF2=

6

3

，
設(shè)r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距，
∵

OP

•

OF2

=2，∴

c2+r2

•c•

6

3

=2，
又，tan∠OPF2=

c

r

=

2

，解得：c=

2

，r=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(±

2

，1)，…（2分）
∵點(diǎn)P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，∴

(± 2 )2

a2

+

1

b2

=1，
又a²-b²=c²=2，解得：a²=4，b²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1，
由題意知直線(xiàn)l的斜率存在，故設(shè)其斜率為k，
則其方程為y=k（x+1），N（0，k），
設(shè)Q（x₁，y₁），∵

NQ

=2

QM

，
∴（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），
∴x1=-

2

3

，y1=

k

3

，…（7分）
又∵Q是橢圓C上的一點(diǎn)，∴

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1，
解得k=±4，
∴直線(xiàn)l的方程為4x-y+4=0或4x+y+4=0．…（9分）
（Ⅲ）由題意知橢圓D：

x2

4

+y2=1，
由S（-2，0），設(shè)T（x₁，y₁），
根據(jù)題意可知直線(xiàn)l₁的斜率存在，
設(shè)直線(xiàn)斜率為k，則直線(xiàn)l₁的方程為y=k（x+2），
把它代入橢圓D的方程，消去y，
整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由韋達(dá)定理得-2+x1=-

16k2

1+4k2

，
則x1=

2-8k2

1+4k2

，y₁=k（x₁+2）=

4k

1+4k2

，
所以線(xiàn)段ST的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)，
（1）當(dāng)k=0時(shí)，則有T（2，0），線(xiàn)段ST垂直平分線(xiàn)為y軸，
∴

GS

=(-2，-t)，

GT

=(2，-t)，
由

GS

•

GT

=-4+t2=4，解得：t=±2

2

．…（11分）
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，則線(xiàn)段ST垂直平分線(xiàn)的方程為y-

2k

1+4k2

=-

1

k

（x+

8k2

1+4k2

），
∵點(diǎn)G（0，t）是線(xiàn)段ST垂直平分線(xiàn)的一點(diǎn)，
令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

，
∴

GS

=(-2，-t)，

GT

=(x1，y1-t)，
由

GS

•

GT

=-2x1-t(y1-t)=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，解得：k=±

14

7

，
代入t=-

6k

1+4k2

，解得：t=±

2 14

5

，
綜上，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)t的值為t=±2

2

或t=±

2 14

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程、直線(xiàn)方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．