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已知i，m，n是正整數(shù)，且1< i ≤ m < n．

（1）證明 ；

（2）證明 (1+ m )ⁿ > (1 + n )^m．

求證：當n∈N，n≥2時，

．

已知a，b，c∈R，且 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證a，b，c全是正數(shù)．

設(shè)函數(shù)f ( x ) = tan x，．已知x₁，x₂∈，且x₁≠x₂，求證．

已知a，b，c是不等正數(shù)，且abc = 1，求證：．

已知a，b，c∈R，求證：

．

已知a，b，c∈R⁺，求證：

對于函數(shù)y＝f（x）（x∈D，D是此函數(shù)的定義域）若同時滿足下列條件：

　�。�Ⅰ）f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

　�。�Ⅱ）存在區(qū)間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么，把y＝f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．

　�。�1）求閉函數(shù)y＝符合條件（Ⅱ）的區(qū)間[a，b]；

　　（2）判斷函數(shù)f（x）＝（x∈）是否為閉函數(shù)?并說明理由；

　　（3）若y＝是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）·f（y）．

　　（Ⅰ）求證：f（0）＝1；

　　（Ⅱ）求證：f（x）在R上是增函數(shù)；

　�。�Ⅲ）設(shè)集合A＝{（x，y）|f（）·f（）＜f（1）}，B＝{（x，y）|f（x＋y＋c）＝1，c∈R}，若AB＝，求c的取值范圍．

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)m、n，都有f（m）·f（n）＝f（m＋n），且當x＜0時，f（x）＞1．

（Ⅰ）證明（1）f（0）＝1；

　　　　  （2）當x＞0時，0＜f（x）＜1；

　　　　  （3）f（x）是R上的減函數(shù)；

（Ⅱ）如果對任意實數(shù)x、y，有f（）·f（）≤f（axy）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．