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選修4－5：不等式選講

已知a，b，c∈R⁺，且a＋b＋c＝1，求證：≥8．

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E、F分別是A₁B、A₁C的中點，點D在B₁C₁上，A₁D⊥B₁C．

求證：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

對于數列{λ_n}，若存在常數M＞0，對任意n∈N⁺，恒有|λ_n+1－λ_n|＋|λ_n－λ_n－1|＋…＋|λ₂－λ₁|≤M，則稱數列{λ_n}為數列．

求證：(1)設S_n是數列{a_n}的前n項和，若{S_n}是數列，則{a_n}也是數列．

(2)若數列{a_n}，{b_n}都是數列，則{a_nb_n}也是數列．

選修4－1：幾何證明選講

如圖，已知△ABC，過頂點A的圓與邊BC切于BC的中點P，與邊AB，AC分別交于點M，N，且CN＝2BM，點N平分AC．求證：AM＝7BM．

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C中，E、F分別是A₁B、A₁C的中點，點D在B₁C上，A₁D⊥B₁C．

求證：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

選修4－5：不等式選講

已知|x₁－2|＜1，|x₂－2|＜1．

(1)求證：2＜x₁＋x₂＜6，|x₁－x₂|＜2；

(2)若f(x)＝x²－x＋1，求證：|x₁－x₂|＜|f(x₁)－f(x₂)|＜5|x₁－x₂|．

選修4－5：不等式選講

已知|x₁－2|＜1，|x₂－2|＜1．

(1)求證：2＜x₁＋x₂＜6，|x₁－x₂|＜2；

(2)若f(x)＝x²－x＋1，求證：|x₁－x₂|＜|f(x₁)－f(x₂)|＜5|x₁－x₂|．

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，點E是PD的中點．

(1)求證：AC⊥PB；

(2)求證：PB∥平面AEC；

如圖，⊙O內切ΔABC的邊于D、E、F，AB＝AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G．

(1)證明：圓心O在直線AD上；

(2)證明：點C是線段GD的中點．

在△ABC中，AB＝AC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC延長線于點D

(1)求證：；

(2)求證：AP·AD＝AB·AC．