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如圖, 三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC₁上動(dòng)點(diǎn), F是AB中點(diǎn), AC =" 1," BC =" 2," AA₁ =" 4."

(1) 當(dāng)E是棱CC₁中點(diǎn)時(shí), 求證: CF∥平面AEB₁;
(2) 在棱CC₁上是否存在點(diǎn)E, 使得二面角A—EB₁—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的長, 若不存在,
請(qǐng)說明理由.

如圖，棱柱ABCD—的底面為菱 形 ，AC∩BD=O側(cè)棱⊥BD,點(diǎn)F為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面.

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF//AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（1）求證：NC∥平面MFD；
（2）若EC=3，求證：ND⊥FC;
（3）求四面體NFEC體積的最大值．

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁的中點(diǎn).

（1）證明：B F//平面E CD₁
（2）求二面角D₁—EC—D的余弦值.

用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，則截面與底面之間的部分叫棱臺(tái)。
如圖，在四棱臺(tái)中，下底是邊長為的正方形，上底是邊長為1的正方形，側(cè)棱⊥平面，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值.

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．

（1）求證：DC平面ABC；
（2）求BF與平面ABC所成角的正弦值；
（3）求二面角B－EF－A的余弦值．

如圖，三棱錐中，底面于，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：側(cè)面平面；
（2）若異面直線與所成的角為，且，
求二面角的大小.

如圖：四棱錐中，,,．∥，．．

（Ⅰ）證明: 平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面成角正弦值等于，若存在，指出點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，是以為直徑的半圓上異于、的點(diǎn)，矩形所在的平面垂直于該半圓所在的平面，且．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設(shè)平面與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為．
①試證：；
②若，求三棱錐的體積．

如圖1，在Rt中， ，．D、E分別是上的點(diǎn)，且．將沿折起到的位置，使，如圖2．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值；