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橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，且過點(diǎn)
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的值.

(本小題滿分12分) 求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)；
（2）經(jīng)過點(diǎn)（2，－3）且與橢圓具有共同的焦點(diǎn)．

(本小題滿分12分)
設(shè)A₁、A₂是雙曲線的實軸兩個端點(diǎn)，P₁P₂是雙曲線的垂直于軸的弦，
（Ⅰ）直線A₁P₁與A₂P₂交點(diǎn)P的軌跡的方程；
（Ⅱ）過與軸的交點(diǎn)Q作直線與（1）中軌跡交于M、N兩點(diǎn)，連接FN、FM，其中F,求證：為定值；

（本小題滿分12分）
已知是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
若直線的斜率乘積，求雙曲線的離心率；

（I） 已知拋物線過焦點(diǎn)的動直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn), 求證: 為定值;
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知: 過拋物線的焦點(diǎn)的動直線 l 交拋物線于兩點(diǎn), 存在定點(diǎn), 使得為定值. 請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.

(本小題滿分14分) 如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn).分別過點(diǎn)C、D作平行于軸的直線、.（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；（2）求證:以O(shè)N為直徑的圓與直線相切；（3）求線段MN的長（用表示），并證明M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和等于線段MN的長.

已知圓O:交軸于A，B兩點(diǎn),曲線C是以為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)連結(jié)PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓相切；
(3)試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明；若不是,請說明理由．

已知橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)(2，0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)， 且滿足
（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng) 時，求實數(shù)的值．

已知橢圓的離心率為，定點(diǎn)M（1，0），橢圓短軸的端點(diǎn)是B₁，B₂，且 
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．試問x軸上是否存在定點(diǎn)P，使PM平分∠APB?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由，

（本題滿分12分）
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．