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某教師連續(xù)4年擔任高二年級信息技術課，如表是這位老師這門課4年來學生考試成績分布，甲、乙二位同學準備下學期選修這位老師的信息技術課，如果85（包括85）分以上為優(yōu)秀，60分為及格分數(shù)線．請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息解決下列問題：

成績	人數(shù)
90分以上	57
85～89	93
70～84	158
60～69	112
50～59	21
50分以下	9

（1）估計甲同學該科成績優(yōu)秀的概率；
（2）如果事件A發(fā)生與否和事件B發(fā)生的概率無關，反之，事件B發(fā)生與否和事件A發(fā)生的概率無關，則稱這兩個事件為相互獨立事件．兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于各事件發(fā)生概率的成績，根據(jù)這個結論，估計甲同學及格且乙同學不及格的概率．

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+

1

x

，g（x）=x²+x-b，y=f（x）圖象恒過定點P，且P點既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導函數(shù)的圖象上．
（1）求a，b的值；
（2）設h（x）=

f(x)

g(x)

，求證：當x＞0且x≠1時，h（x）＜0．

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x-a

（b＞0），若f（x）＞a+1的解集是（1，5），求實數(shù)a、b的值．

設函數(shù)f（x）=mx³-3x+n，m，n∈R
（Ⅰ）已知f（x）在區(qū)間（m，+∞）上遞增，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）存在實數(shù)m，使得當x∈[0，n-2]時，2≤f（x）≤6恒成立，求n的最大值及此時m的值．

數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，前n項和為S_n，對于n∈N^*，總有a_n，

2Sn

，a_n+1成等比數(shù)列，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對任意給定的正整數(shù)m（m≥2），作數(shù)列{b_n}，使b₁=a₁，且

bn+1

bn

=

m-n

an+1

（n=1，2，…，m-1），求b₁+b₂+…+b_m；
（3）設數(shù)列{

1

an

}的前n項和為T_n，求證：

1

2

≤T_2n-T_n＜

3

4

（n∈N^*）．

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=7x-20，求a、b的值；
（2）設x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=2，試用a表示b²；
（3）求證：|b|≤

4 3

9

．

已知函數(shù)y=cos²（

π

4

x+

π

3

）+sin（

π

3

x+

π

6

），求該函數(shù)的周期．

已知離心率分別為e₁、e₂的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個公共頂點為A、B，若P、Q分別為雙曲線C₂和橢圓C₁上不同于A、B的動點，O為坐標原點，且滿足

OP

=λ

OQ

（λ∈R，|λ|＞1）．如果直線AP、BP、AQ、BQ的斜率依次記為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求證：e₁²+e₂²=2；
（2）求證：k₁+k₂+k₃+k₄=0．

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=a（a≠3，a∈R），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*
（Ⅰ）設b_n=S_n-3ⁿ ，n∈N^*，求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a，n∈N^*，求a的取值范圍．

在△ABC中，∠C=90°，則cos²A+cos²B=1，用類比的方法猜想三棱錐的類似性質，并證明你的猜想．