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在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，函數(shù)f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=

5π

12

處取得最大值．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面積．

如圖所示，已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A、B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C₂的標準方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過原點；
（Ⅲ）若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點，求橢圓C₁的長軸長的最小值．

設中心在原點，焦點在x軸上，且離心率為

3

2

的橢圓交圓x²+y²-4x-2y+

5

2

=0于A、B兩點，若線段AB是圓的直徑．
（1）求線段AB的斜率；
（2）求橢圓的方程．

已知橢圓M的中心原點O，點F（-1，0）是它的一個焦點，直線L過點F與橢圓M交于P、Q兩點，當直線L的斜率不存在時，

OP

•

OQ

=

1

2

．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設A、B、C是橢圓M上的不同三點，且

OA

+

OB

+

OC

=0，證明直線AB與OC的斜率之積為定值．

已知點M（-1，0），N（1，0），動點P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=

4

1+cos∠MPN

，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點N（1，0）的直線l與曲線C相 交于A、B兩點，并且曲線C存在點Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAQB的面積；若不存在，說明理由．

已知函數(shù)f（x）=

ln(x+1)

ax+1

．
（1）當a=1，求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知x，y，z均為正實數(shù)，且x+y+z=1，求證：

(3x-1)ln(x+1)

x-1

+

(3y-1)ln(y+1)

y-1

+

(3z-1)ln(z+1)

z-1

≤0．

如圖，直線PA為圓O的切線，切點為A，直徑BC⊥OP，連接AB交PO于點D．
（1）證明：PA=PD；
（2）求證：PA•AC=AD•OC．

節(jié)能燈的質量通過其正常使用時間來衡量，使用時間越長，表明治療越好．若使用時間小于4千小時的產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品；使用時間在4千小時到6千小時（不含6千小時）的產(chǎn)品為合格品；使用時間大于或等于6千小時的產(chǎn)品為優(yōu)質品．某節(jié)能燈生產(chǎn)廠家為了解同一類型號的某批次產(chǎn)品的質量情況，隨機抽取了部分產(chǎn)品作為樣本，得到實驗結果的頻率直方圖如圖所示．若上述實驗結果中使用時間落入各組的頻率作為相應的概率．
（1）若該批次有產(chǎn)品2000件，試估計該批次的不合格品，合格品，優(yōu)質品分別有多少件？
（2）已知該節(jié)能燈生產(chǎn)廠家對使用時間小于6千小時的節(jié)能燈實習“三包”．通過多年統(tǒng)計可知：該型號節(jié)能燈每件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與使用時間t（單位：千小時）的關系式為y=

-20，t＜4 20，4≤t＜6 40，t≥6

．現(xiàn)從大量的該型號節(jié)能燈中隨機抽取一件，其利潤記為X（單位：元），求X≥20的概率．

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點P(

2

，

3

)，且離心率為2，過右焦點F作兩漸近線的垂線，垂足分別為M，N．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求四邊形OMFN的面積（O為坐標原點）．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左焦點和上頂點分別為F和A，且拋物線y²=-8x的焦點恰好為F，原點O到直線AF的距離為

2 5

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l交橢圓C于M、N，且F為△AMN的垂心，試求直線l的方程．