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12．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．且$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{EC}=0$，求k的值．

11．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C₁的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M．
（i）求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（ii）過(guò)點(diǎn)F₂作兩條相互垂直的直線交曲線C₂于A、C、B、D，求四邊形ABCD面積的最小值．

10．如圖，以${{F}_1}（{-\sqrt{3}，0}）$、${{F}_2}（{\sqrt{3}，0}）$為焦點(diǎn)的橢圓C與以原點(diǎn)O為圓心，F(xiàn)₁F₂為直徑的圓在第一象限的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)圓與y軸正半軸交點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△OAB面積的最小值為$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，試求直線l的斜率k的取值范圍．

9．點(diǎn)F₁（0，-$\sqrt{2}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{2}$），動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F₂的距離是4，線段MF₁的中垂線交MF₂于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；
（2）若斜率為$\sqrt{2}$的動(dòng)直線l與軌跡G相交于A、B兩點(diǎn)，Q（1，$\sqrt{2}$）為定點(diǎn)，求△QAB面積的最大值．

8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于到定點(diǎn)C（$\frac{1}{2}$，0）的距離．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若在y軸上截距為2的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程．

7．已知函數(shù)f（x）=e^2π-x+sinx，x∈[π，2π]，g（x）=${π}^{2x-e}+ln\frac{x}{e}$．x∈（0，e]．
（1）若存在實(shí)數(shù)x₀∈[π，2π]使得a≤f（x₀）成立．對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈（0，e]，b≥g（x）成立，求α的最大值u，b的最小值v；
（2）試比較u與v的大小，并說(shuō)明理由．

6．設(shè)f（x）=$\frac{ex}{1+a{x}^{2}}$，其中a為正實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=$\frac{16}{15}$時(shí)，求f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

5．設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C₁交于M，N兩點(diǎn)．
（I）是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若AB是橢圓C₁經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦，且MN∥AB，求證：$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$為定值．

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，橢圓上的點(diǎn)到直線$x=-\frac{{5\sqrt{5}}}{2}$的距離的最大值為$\frac{{9\sqrt{5}}}{2}$，傾斜角為45°的直線l交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)M（4，1），當(dāng)直線l不過(guò)點(diǎn)M時(shí)，求證：直線MA，MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．

3．定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱(chēng)為橢圓的相似比．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（1）若橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）寫(xiě)出與橢圓C₁相似且焦點(diǎn)在x軸上、短半軸長(zhǎng)為b的橢圓C_b的標(biāo)準(zhǔn)方程；若在橢圓C_b上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）如圖：直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和
M_λ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=λ²（a＞bo，0＜λ＜1）分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，試在橢圓M和橢圓M_λ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F（非橢圓頂點(diǎn)），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形，寫(xiě)出具體作法．（不必證明）