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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）在曲線上取兩點， 與原點構成，且滿足，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的直角坐標方程為，

，消去參數(shù)可知曲線是圓心為，半徑為的圓，由直線與曲線相切，可得： ；則曲線C的方程為， 再次利用極坐標與直角坐標的互化公式可得

可得曲線C的極坐標方程.

(2)由（1）不妨設M（），，（），

，

，

由此可求面積的最大值.

試題解析：（1）由題意可知直線的直角坐標方程為，

曲線是圓心為，半徑為的圓，直線與曲線相切，可得： ；可知曲線C的方程為，

所以曲線C的極坐標方程為，

即.

(2)由（1）不妨設M（），，（），

，

，

當 時， ，

所以△MON面積的最大值為.

【題型】解答題
【結束】
23

【題目】已知函數(shù)的定義域為；

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）設實數(shù)為的最大值，若實數(shù)， ， 滿足，求的最小值.

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax，a＞0．
（1）記f（x）的極小值為g（a），求g（a）的最大值；
（2）若對任意實數(shù)x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范圍．

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

【答案】（1）， ；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于 的方程組，解出即可；

（2）由（1）可知， ，

由，可得，令， 利用導數(shù)研究其單調性可得

，

從而證明.

試題解析：（（1）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故， .

（2）由（1）可知， ，

由，可得，

令，

，

令

當時， ， 單調遞減，且；

當時， ， 單調遞增；且，

所以在上當單調遞減，在上單調遞增，且，

故，

故.

【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導數(shù)證明不等式的方法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用.

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）在曲線上取兩點， 與原點構成，且滿足，求面積的最大值.

【題目】在如圖所示的三棱錐ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分別是BC，A1B1的中點．

（1）求證：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直線BC與平面AB1C所成角的正切值．

【題目】已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且 =1．
（1）求角A；
（2）若a=4 ，求b+c的取值范圍．

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點，當∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意可求得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，，

當直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時，.

當直線、的斜率存在時，,設直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理計算可得直線的斜率為，直線的斜率為，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值.

（Ⅰ）設由題，

解得，則，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，，當直線的斜率不存在時，

設，則，直線的方程為代入，

可得 ，，則,

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，設直線的方程為，

則由消去可得：，

又，則，代入上述方程可得:

，，

則 ，

設直線的方程為，同理可得 ，

直線的斜率為

直線的斜率為， .

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【點睛】

(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．

(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x＋b）（－a），（b＞0），在（－1，f（－1））處的切線方程為（e－1）x＋ey＋e－1＝0．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）若方程f（x）＝m有兩個實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，證明：x2－x1≤1＋．

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元．

（Ⅰ）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關系式；

（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標滿足如圖所示的直方圖，其中當某天的派送量指標在（，]（n＝1，2，3，4，5）時，日平均派送量為50＋2n單．若將頻率視為概率，回答下列問題：

①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列，數(shù)學期望及方差；

②結合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由。

（參考數(shù)據(jù)：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【答案】（Ⅰ）甲方案的函數(shù)關系式為： ，乙方案的函數(shù)關系式為：；（Ⅱ）①見解析，②見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為： ， 乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為：.

（Ⅱ）①由題意求得X的分布列，據(jù)此計算可得，，.

②答案一：由以上的計算可知，遠小于，即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.

答案二：由以上的計算結果可以看出，，所以小明應選擇乙方案.

（Ⅰ）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為： ，

乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為：

（Ⅱ）①由已知，在這100天中，該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格：

所以的分布列為：

所以

所以的分布列為：

所以

②答案一：由以上的計算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠小于，即甲方案日工資收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.

答案二：由以上的計算結果可以看出，，即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應選擇乙方案.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖，數(shù)學期望與方差的含義與實際應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，M為橢圓上任意一點，當∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且對任意正整數(shù)n，都有an= +2成立．
（1）記bn=log2an ， 求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）設cn= ，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn ．

【題目】四棱錐S－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD為正三角形．

（Ⅰ）點M為棱AB上一點，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求實數(shù)λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由線面平行的性質定理可得，據(jù)此可知四邊形BCDM為平行四邊形，據(jù)此可得.

（Ⅱ）由幾何關系，在平面內過點作直線于點，以點E為坐標原點，EA方向為X軸，EC方向為Y軸，ES方向為Z軸建立空間坐標系，據(jù)此可得平面的一個法向量，平面的一個法向量，據(jù)此計算可得二面角余弦值為.

（Ⅰ）因為平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以，

因為,所以四邊形BCDM為平行四邊形，又,所以M為AB的中點.

因為 .

（Ⅱ）因為 ， ，所以平面，又因為平面，

所以平面平面，平面平面，

在平面內過點作直線于點，則平面，

在和中，因為，所以，

又由題知，所以所以，

以下建系求解.以點E為坐標原點，EA方向為X軸，EC方向為Y軸，ES方向為Z軸建立如圖所示空間坐標系，

則，，，，，

，，，，

設平面的法向量，則，所，

令得為平面的一個法向量，

同理得為平面的一個法向量，

，因為二面角為鈍角.

所以二面角余弦值為.

【點睛】

本題考查了立體幾何中的判斷定理和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

【題型】解答題
【結束】
19

（Ⅰ）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關系式；

（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標滿足如圖所示的直方圖，其中當某天的派送量指標在（，]（n＝1，2，3，4，5）時，日平均派送量為50＋2n單．若將頻率視為概率，回答下列問題：

①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列，數(shù)學期望及方差；

②結合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由。

（參考數(shù)據(jù)：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【題目】已知等比數(shù)列{}的前n項和為，且滿足2＝＋m（m∈R）．

（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式；

（Ⅱ）若數(shù)列{}滿足，求數(shù)列{}的前n項和．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)法一：由前n項和與數(shù)列通項公式的關系可得數(shù)列的通項公式為；

法二：由題意可得，則，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，裂項求和可得.

(Ⅰ)法一：

由得，

當時，，即，

又，當時符合上式，所以通項公式為.

法二：

由得

從而有，

所以等比數(shù)列公比，首項，因此通項公式為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

，

.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列前n項和與通項公式的關系，裂項求和的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

【題型】解答題
【結束】
18

（Ⅰ）點M為棱AB上一點，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求實數(shù)λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．