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（理）定義：若存在常數(shù)k，使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，均有：|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立，則稱(chēng)f（x）在D上滿(mǎn)足利普希茨（Lipschitz）條件．
（1）試舉出一個(gè)滿(mǎn)足利普希茨（Lipschitz）條件的函數(shù)及常數(shù)k的值，并加以驗(yàn)證；
（2）若函數(shù)f(x)=

x+1

在[1，+∞)上滿(mǎn)足利普希茨（Lipschitz）條件，求常數(shù)k的最小值；
（3）現(xiàn)有函數(shù)f（x）=sinx，請(qǐng)找出所有的一次函數(shù)g（x），使得下列條件同時(shí)成立：
①函數(shù)g（x）滿(mǎn)足利普希茨（Lipschitz）條件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(

3π

4

)=

2

sin(

3π

2

-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在區(qū)間[0，2π）上有且僅有一解．

已知：函數(shù)f（x）在（-1，1）上有定義，f(

1

2

)=-1，且對(duì)?x、y∈（-1，1）有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）對(duì)于數(shù)列{x_n}，有x1=

1

2

，xn+1=

xn-xn+1

1-xnxn+1

，試證明數(shù)列{f（x_n）}成等比數(shù)列；
（Ⅲ）求證：

n

i=1

f(xi)＞f(

4

5

)．

（理）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）滿(mǎn)足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，f（-2）=0，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有f（x）≤

1

8

(x+2)2成立．
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）g（x）=4f′（x）-sinx-2數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n+1=g（a_n），0＜a₁＜1，n=1，2，3，證明：（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；（Ⅱ）a_n+1＜

1

6

an³．

（文）已知α為銳角，解關(guān)于x的不等式x＞1-

cos2α

x+1

．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，右焦點(diǎn)為F（c，0），P（x₀，y₀）是橢圓上一點(diǎn)，且x₀＞0，過(guò)P作圓x²+y²=b²的切線，交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)切點(diǎn)為M，
（1）用x₀表示|PM|；
（2）若△PQF的周長(zhǎng)為16，求橢圓的方程．

已知定點(diǎn)F（

p

2

，0）與定直線l：x=-

p

2

(p≥0)動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與l相切．
（1）試求動(dòng)圓圓心C的軌跡E和E的軌跡方程．
（2）在（1）的條件下，若p≠0，過(guò)E的焦點(diǎn)作直線m交E于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求∠AOB得最大值．