Question

（2013?安徽）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，且ab邊與y軸平行．一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的p（0，h）點(diǎn)，以大小為v₀的速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)，通過(guò)電場(chǎng)后從x軸上的a（2h，0）點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限，又經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)從y軸上的某點(diǎn)進(jìn)入第Ⅲ象限，且速度與y軸負(fù)方向成45°角，不計(jì)粒子所受的重力．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（3）abc區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法可求出場(chǎng)強(qiáng)大小E．
（2）由速度的合成法求出粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度大小和方向，由幾何知識(shí)確定粒子經(jīng)過(guò)a點(diǎn)時(shí)的方向
（3）三角形區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，當(dāng)粒子剛好與BC邊相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，作出軌跡，由幾何知識(shí)求出最小半徑，由牛頓第二定律即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．

解答：解：粒子在第Ⅰ象限內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)在第Ⅰ象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則
水平方向有：2h=v₀t_1…①
豎直方向有：h=

1

2

qE

m

t12…②
①②式聯(lián)立得：E=

m v 2 0

2qh

   ③
（2）設(shè)粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)時(shí)豎直方向的速度v_y
則有：vy=at1=

qE

m

t1…④．
①③④聯(lián)立得：v_y=v₀
所以粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度大小為va=

vx2+vy2

=

v02+v02

=

2

v0    ①
與x軸的夾角為θ，由幾何關(guān)系得：tanθ=

vy

vx

=

v0

v0

=1，
所以θ=45°
（3）經(jīng)分析，當(dāng)粒子從b點(diǎn)出磁場(chǎng)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最�。�

由幾何關(guān)系得：r=

2

2

L       ②
由洛倫茲力提供向心力得：Bqv=

mv2

r

        ③
①②③聯(lián)立得：B=

2mv0

qL

即磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小E=

m v 2 0

2qh

（2）v=

2

v₀，與x軸正方向成45°角斜向右下方
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值B=

2mv0

qL

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了有邊界電磁場(chǎng)的問(wèn)題，在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，利用平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解；粒子在有邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，利用幾何關(guān)系求解運(yùn)動(dòng)半徑和轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．