Question

20．如圖所示，在坐標(biāo)系xoy中，過原點(diǎn)的直線OC與x軸正向的夾角φ=120°，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場：在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場，其上邊界與電場邊界重疊、右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角θ=30°，大小為v，粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的兩倍．粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時(shí)間后再次離開磁場．已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開磁場所用的時(shí)間恰好等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期．忽略重力的影響．求：
（1）A點(diǎn)到x軸的距離；
（2）勻強(qiáng)電場的大小和方向；
（3）粒子從第二次離開磁場到再次進(jìn)入電場時(shí)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合運(yùn)動的軌跡圖象，判斷出圓周運(yùn)動的圓心即兩虛線的交點(diǎn)，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力，粒子的速度和A到y(tǒng)軸的距離；
（2）粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場區(qū)域說明電場力的方向一定與運(yùn)動的方向相反，則電場方向必與v相反；根據(jù)時(shí)間關(guān)系求出粒子在電場中運(yùn)動的時(shí)間，進(jìn)而求出電場的強(qiáng)度和方向；
（3）粒子出磁場后到進(jìn)入電場是勻速直線運(yùn)動，根據(jù)軌跡圖象，就可以求出從第二次離開磁場到再次進(jìn)入電場所用的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)磁場左右邊界間距為d，由幾何關(guān)系知：OO′=2d，
粒子第一次進(jìn)入磁場的運(yùn)動軌跡的圓心為O′，有：$\overline{AD}=R（1-cos{30^0}）$，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：$qBv=m\frac{v^2}{R}$，
解得：$\overline{AD}=\frac{mv}{qB}（1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$；
（2）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$，
粒子第一次在磁場中運(yùn)動時(shí)間為t₁，有：t₁=$\frac{30°}{360°}$T=$\frac{1}{12}$T，
依題意，勻強(qiáng)電場的方向與x軸正向夾角應(yīng)為150°．
由幾何關(guān)系知，粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場的速度方向與磁場右邊界夾角為60°．
粒子第二次在磁場運(yùn)動的圓弧的圓心O″必定在直線OC上，且∠OO″P=120°
粒子第二次在磁場中運(yùn)動時(shí)間為t₂，有：${t_1}=\frac{T}{3}$
粒子在電場中運(yùn)動時(shí)間為t₃，依題意有：t₃=T-（t₁+t₂）
粒子在電場中有：-v=v-at₃，
由牛頓第二定律的：qE=ma，
解得：E=$\frac{12Bv}{7π}$；
（3）粒子自P射出后沿直線運(yùn)動，由P′再次進(jìn)入電場，由幾何關(guān)系有：∠O″P′P=30°
三角形OPP′為等腰三角形，粒子在P、P′運(yùn)動時(shí)間為t₄，有：${t_4}=\frac{{\overline{P{P^/}}}}{v}$
由幾何關(guān)系得：$\overline{OP}=\sqrt{3}R$，
解得：t₄=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$；
答：（1）A點(diǎn)到x軸的距離為（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{mv}{qB}$；
（2）勻強(qiáng)電場的大小為$\frac{12Bv}{7π}$，方向：與v的方向相反；
（3）粒子從第二次離開磁場到再次進(jìn)入電場時(shí)所用的時(shí)間為$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中 的運(yùn)動，正確地畫出運(yùn)動的軌跡是解題的關(guān)鍵，象該題需要兩次畫出不同的軌跡．題目的難度較大．