Question

如圖所示，在xOy平面的第一象限內存在著方向垂直紙面向外，磁感應強度為B的勻強磁場，在第四象限內存在方向沿負x方向的勻強電場．從y軸上坐標為（0，a）的P點同時沿垂直磁場方向向磁場區(qū)發(fā)射速度大小不是都相等的帶正電的同種粒子，粒子的速度方向在與y軸正方向成30°～150°角的范圍內，結果所有粒子經過磁場偏轉后都垂直打到x軸上，然后進入第四象限內的電場區(qū)．已知帶電粒子電量為+q，質量為m，不計粒子重力和粒子間的相互作用力．
（1）求全部粒子經過x軸的時間差．
（2）求粒子通過x軸時的位置范圍．
（3）已知從P點發(fā)出時速度最大的粒子受到的磁場力與它在電場中受到的電場力大小相等，求從P點發(fā)出時速度最小的粒子穿過電場后在y軸上的Q點射出電場時的速度大小v．

Answer 1

分析：（1）由題意，所有粒子經過磁場偏轉后都垂直打到x軸上，先找出兩個邊界上的粒子，分析在第一象限內的運動情況，可知與y軸正方向成30°的粒子運動時間最長，與y軸正方向成150°的粒子運動時間最短．由幾何知識可確定粒子的速度偏向角θ最小值和最大值，而速度的偏向角等于軌跡的圓心角θ，根據t=

θ

2π

T，即得到粒子在磁場中的最短時間和最長時間，求出時間差．
（2）利用帶電粒子在有邊界的勻強磁場中做圓周運動時確定圓心和半徑的方法，分別求出兩種粒子經過x軸時距坐標原點的距離，從而可表示出粒子打到 x 軸上的范圍．
（3）軌跡半徑最大的粒子，其速度也最大，由（2）問結果得到最大半徑，由半徑公式求得最大速度．軌跡半徑最小的粒子，其速度也最小，由（2）問結果得到最小半徑，由半徑公式求得最小速度．由題，速度最大的粒子受到的磁場力與它在電場中受到的電場力大小相等，即求出粒子所受的電場力大�。�所有粒子在電場中受到的電場力大小相等．再根據動能定理求解速度最小的粒子穿過電場后在y軸上的Q點射出電場時的速度大小v．

解答：解（1）所有粒子在第一象限內運動時，與y軸正方向成150°的粒子運動時間最短，其速度的偏向角為

π

6

，最短時間為：tmin=

π 6

2π

T=

T

12

所有粒子在第一象限內運動時，與y軸正方向成30°的粒子運動時間最長，其速度的偏向角為

5π

6

，最長時間為：tmax=

5π 6

2π

T=

5T

12

故全部粒子經過x軸的時間△t=t_max-t_min=

1

3

T=

2πm

3qB

（2）與y軸夾角150°入射的粒子軌跡半徑為  R1=

a

sin30°

=2a
打在最左邊的坐標是 x1=R1(1-cos30°)=(2-

3

)a
與y軸夾角的粒子軌跡半徑為 R₂=

a

sin30°

=2a
打在最右邊的坐標是 x2=R2(1+cos30°)=(2+

3

)a
粒子通過x軸時的位置范圍是(2-

3

)a≤x≤(2+

3

)a
（3）半徑為2a的粒子發(fā)出時速度最大，設為v₁
則 2a=

mv1

qB

∴v1=

2aqB

m

∴電場力F=qv1B=

2aq2B2

m

半徑為a的粒子發(fā)出時速度最小，設為v₂，
在磁場中a=

mv2

qB

∴v2=

aqB

m

第四象限中，Fa=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 2

得v=

5 aqB

m

答：
（1）全部粒子經過x軸的時間差是

2πm

3qB

．
（2）粒子通過x軸時的位置范圍是(2-

3

)a≤x≤(2+

3

)a．
（3）從P點發(fā)出時速度最小的粒子穿過電場后在y軸上的Q點射出電場時的速度大小v是

5 aqB

m

．

點評：本題的解題關鍵是利用幾何知識確定粒子速度的偏向角，確定運動時間和軌跡半徑．