Question

9．如圖所示，豎直平面內，半徑為R=0.5m的光滑圓軌道CDF與傾角θ=37°的光滑斜面軌道AC相切于C，圓軌道的直徑CE與斜面垂直，O點為圓軌道的圓心，D點為圓軌道的最低點，F(xiàn)點為圓軌道的最高點，DF在豎直方向，B點為斜面上與F等高的位置．小球從斜面上A處由靜止釋放，之后恰好能通過F處離開圓軌道，落到斜面上．已知重力加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計空氣阻力，求：
（1）A，C兩點的高度差；
（2）小球從F點到斜面的運動時間．

Answer 1

分析 （1）小球恰能到達光滑圓弧軌道CDF的最高點，在F點重力充當向心力，根據(jù)向心力公式求得F點的速度，從A點到F點的過程中，因為只有重力做功，機械能守恒，可以根據(jù)機械能守恒定律或動能定理求AC兩點的高度差．
（2）小球離開F點后做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律及幾何關系可以求出從F點到斜面的時間

解答 解：（1）小球恰好能通過F，在最高點F根據(jù)向心力公式得：$mg=m\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$
${v}_{F}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}=\sqrt{5}m/s$
從A到F只有重力做功，機械能守恒，選C點所在的水平面為參考平面，根據(jù)機械能守恒定律得：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}+mg（R+Rcosθ）$
代入數(shù)據(jù)解得：h=1.15m
（2）小球離開F點做平拋運動，水平方向：$x={v}_{F}^{\;}t$
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
根據(jù)幾何關系有：$\frac{（R+Rcosθ）-\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}}{{v}_{F}^{\;}t-Rsinθ}=tanθ$
解得：$t=\frac{3\sqrt{5}}{20}s$
答：（1）A，C兩點的高度差1.15m；
（2）小球從F點到斜面的運動時間為$\frac{3\sqrt{5}}{20}s$

點評 本題小球“恰好”到達圓軌道最高點，抓住關鍵詞充分挖掘隱含條件，運動過程中只有重力做功機械能守恒，平拋運動分解為水平和豎直方向處理．