Question

10．在絕緣水平地面上，有A、B兩個(gè)矩形粗線框，質(zhì)量都為m，高都為h、長(zhǎng)都為L(zhǎng)，兩個(gè)線框相距2L，A線框下表面光滑，B線框與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，B線框上表面光滑，在B線框右端放置一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可看作質(zhì)點(diǎn)），A線框以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)進(jìn)入一個(gè)方向垂直紙面向里，寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，完全進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的速度為v，離開磁場(chǎng)后與B線框發(fā)生彈性碰撞，B獲得向右的速度v₀，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后小球落地，求：
（1）A、B發(fā)生碰撞前瞬間，A的速度；
（2）小球落地時(shí)距B線框左端的水平距離；
（3）設(shè)A的初速度為v_初，試證明：v_初=2v-v₀．

Answer 1

分析 （1）A、B發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和碰撞前后動(dòng)能相等列方程聯(lián)立求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小球下落前、后線框的加速度，求出小球自由下落的時(shí)間，分別從小球落地時(shí)間大于線框靜止時(shí)間、小于線框靜止時(shí)間兩種情況進(jìn)行求解小球落地距B滑塊左側(cè)距離；
（3）分別從線框進(jìn)入和離開磁場(chǎng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量定理列方程求解．

解答 解：（1）A、B發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒可得：m_Av_A=m_Av′_A+m_Bv₀
根據(jù)碰撞前后動(dòng)能相等可得：$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v′}_{A}}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{0}}^{2}$，
由于m_A=m_B，
所以可得：v_A=v₀；
（2）當(dāng)小球下落前，線框B的加速度為a₁=$\frac{μ•2mg}{m}$=2μg，
線框做勻減速運(yùn)動(dòng)，到小球開始下落時(shí)的速度v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2{a}_{1}L}$，
離開木塊后，小球自由的下落時(shí)間t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
小球落下后，線框的加速度a₂=$\frac{μmg}{m}=μg$，
線框停止運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{2}}$=$\frac{\sqrt{{v}_{0}^{2}-4μgL}}{μg}$，
若t₁≥t₂，小球落地距B滑塊左側(cè)距離s=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{v}_{0}^{2}-4μgL}{2μg}$，
若t₁≤t₂，小球落地距B滑塊左側(cè)距離：s′=${v}_{B}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4μgL}•\sqrt{\frac{2h}{g}}-μh$；
（3）進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量定理可得：BI₁h△t₁=mv-mv_初，
離開磁場(chǎng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量定理：BI₂h△t₂=mv₀-mv，
由于q=I△t=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BS}{R}$，
所以BI₁h△t₁=BI₂h△t₂
即：mv-mv_初=mv₀-mv，
解得：v_初=2v-v₀．
答：（1）A、B發(fā)生碰撞前瞬間，A的速度為v₀；
（2）若小球落地時(shí)間長(zhǎng)，小球落地距B滑塊左側(cè)距離為$\frac{{v}_{0}^{2}-4μgL}{2μg}$，若小球落地時(shí)間短，小球落地距B滑塊左側(cè)距離為$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4μgL}•\sqrt{\frac{2h}{g}}-μh$；
（3）證明見解析．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律等列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．