Question

如圖所示，斜面AB傾角α=53°，與水平面BC在B點(diǎn)處有一短圓弧相接，使物體運(yùn)動(dòng)到B處只改變速度方向，在B點(diǎn)右側(cè)附近有一個(gè)質(zhì)量m=0.2kg的小球用長為L=0.9m的細(xì)繩吊于天花板上．今有一個(gè)質(zhì)量M=0.3kg的小物體在斜面上距B點(diǎn)S=l.5m處，以1m/s的初速度向下滑行，滑行到B點(diǎn)后與小球水平相撞（碰撞時(shí)間極短）．小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，繩與豎直方向的夾角θ=60°，設(shè)物體與斜面和水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5．已知，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²．試求：
（1）物體與小球碰撞過程中，物體與小球總共損失的機(jī)械能．
（2）物體從開始運(yùn)動(dòng)到停止在水平面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出物體滑動(dòng)B點(diǎn)時(shí)的速度，通過機(jī)械能守恒定律求出小球碰撞后的速度，通過動(dòng)量守恒定律求出物體與小球碰后的速度，從而根據(jù)能量守恒定律求出損失的機(jī)械能．
（2）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的推論求出物體在斜面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再通過動(dòng)量定理求出物體在水平面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而求出物體運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)物體到達(dá)B點(diǎn)的速度為v，有：
MgSsinα-μMgScosα=

1

2

Mv 2-

1

2

Mv

2 0

…①
代人數(shù)據(jù)解得 v=4m/s…②
設(shè)物體與小球碰撞后，物體的速度為v₁，小球的速度為v₂，有：
Mv=Mv₁+mv₂…③
對小球的擺動(dòng)過程，有：mgL（1-cosθ）=

1

2

mv

2 2

…④
代人數(shù)據(jù)解②③④三式得 v₁=2m/s　 v₂=3m/s…⑤
∴碰撞中物體和小球損失的機(jī)械能為：△E=

1

2

Mv 2-(

1

2

Mv

2 1

+

1

2

mv

2 2

)=

1

2

×0.3×16-(

1

2

×0.3×4+

1

2

×0.2×9)=0.9J　　　
（2）物體在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，有：S=

v0+v

2

t₁…⑥
t_l=

2×1.5

1+4

s=0.6s
物體在水平面上運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間為t₂，有：μMgt₂=Mv₁…⑦
t₂=

Mv1

μMg

=

0.3×2

0.5×0.3×10

s=0.4s
物體運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=t_l+t₂=1.0s…⑧
答：（1）物體與小球碰撞過程中，物體與小球總共損失的機(jī)械能為0.9J．
（2）物體從開始運(yùn)動(dòng)到停止在水平面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1.0s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律以及動(dòng)量定理的綜合運(yùn)動(dòng)，難度中等，對于第二問，也可以通過牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．