Question

如圖（a）所示，在坐標(biāo)xOy平面的第一象限內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小恒為B₀，方向垂直于xOy平面，且隨時(shí)間作周期性變化，如圖（b）所示．規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�，一個(gè)質(zhì)量為m，電量為q的正粒子，在t=0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正方向射入，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一個(gè)磁場(chǎng)變化周期T（未確定）的時(shí)間，粒子到達(dá)第一象限內(nèi)的某一點(diǎn)P，且速度方向沿x軸正方向（不考慮重力作用）
（1）若點(diǎn)O、P連線與x軸之間的夾角為45°，則磁場(chǎng)變化的周期T為多大？
（2）因點(diǎn)P的位置隨著磁場(chǎng)周期的變化而變化，試求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最大值為多少？此時(shí)磁場(chǎng)變化的周期又為多大？

Answer 1

分析：（1）粒子一個(gè)磁場(chǎng)變化周期到P點(diǎn)的話，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間應(yīng)為四分之一周期，但是要考慮順時(shí)針和逆時(shí)針兩種情況
（2）磁場(chǎng)變化周期越大，圓弧越長(zhǎng)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的值越大，但在磁場(chǎng)變化的一個(gè)周期T'內(nèi)，每個(gè)圓弧不能超過(guò)半個(gè)圓，因此圓弧最長(zhǎng)時(shí)應(yīng)是第二個(gè)圓弧與y軸相切，這樣就可保證粒子不會(huì)出第一象限，求出粒子半徑，可以計(jì)算P的縱坐標(biāo)最大值．而磁場(chǎng)的變化周期T'應(yīng)等于帶電粒子由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)的時(shí)間．

解答：解：（1）粒子僅受洛倫茲力作用而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)磁場(chǎng)方向改變時(shí)，粒子的繞行方向也隨之改變．要使粒子隨時(shí)間T到達(dá)點(diǎn)P，且∠POX=45°，則粒子應(yīng)正好經(jīng)歷

T0

4

的逆時(shí)針繞行和

T0

4

的順時(shí)針繞行（T₀為粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期）．軌跡如圖（a）所示．故磁場(chǎng)變化的周期為T(mén)=

T0

2

=

πm

qB

（2）磁場(chǎng)變化周期越大，圓弧越長(zhǎng)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的值越大，但在磁場(chǎng)變化的一個(gè)周期T'內(nèi)，每個(gè)圓弧不能超過(guò)半個(gè)圓，因此圓弧最長(zhǎng)時(shí)應(yīng)是第二個(gè)圓弧與y軸相切（因圓弧再長(zhǎng)就將從y軸射向第二象限穿出磁場(chǎng)）．如圖（b）所示．
設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則

.

OO1

=

.

O2P

=R，

.

OO2

=2R，

.

O1A

=

(2R)2-R2

=

3

R
所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=2R+

3

R=（2+

3

）

mv

qB

此時(shí)磁場(chǎng)的變化周期T'應(yīng)等于帶電粒子由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)的時(shí)間
即 T'=

2π-2θ

ψ

又sinθ=

R

2R

=

1

2

，θ=

π

6

．ψ=

v

R

    R=

mv

qB

解得：T'=

5πm

3qB

（1）磁場(chǎng)變化的周期T為

πm

qB

（2）點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最大值為

3R

   此時(shí)磁場(chǎng)變化的周期為

5πm

3qB

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，是一道力學(xué)、電學(xué)綜合題．對(duì)考生的空間想象能力及邏輯推理能力有較高的要求．求解的關(guān)鍵是正確想象出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情景．