Question

質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．則：
（1）推導(dǎo)第一宇宙速度v₁的表達(dá)式；
（2）求地球的質(zhì)量M；
（3）求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T．

Answer 1

（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力定律有：
在地球表面附近：G

Mm

R2

=mg；
恰能離開地球表面做圓周運(yùn)動(dòng)：G

Mm

R2

=m

v12

R

；
聯(lián)立解得：v1=

gR

；
（2）在地球表面附近：G

Mm

R2

=mg；
得地球質(zhì)量：M=

R2g

G

．
（3）衛(wèi)星在軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T2

(R+h)
解得：T=2π

(R+h)3 GM

；
答：（1）第一宇宙速度v₁的表達(dá)式為v1=

gR

；
（2）地球的質(zhì)量M為

R2g

G

；
（3）衛(wèi)星的運(yùn)行周期T為2π

(R+h)3 GM

．