Question

（12分）一彈性小球自4.9 m高處自由落下，當它與水平桌面每碰撞一次后，速度減小到碰前的，試計算小球從開始下落到停止運動所用的時間。

Answer 1

解析：

每碰撞一次后所做豎直上拋運動，可分為上升和回落兩個階段，不計空氣阻力，這兩段所用時間和行程相等。

小球原來距桌面高度為4.9 m，用h₀表示，下落至桌面時的速度v₀應為：

v₀==9.8 m/s.下落時間為：t₀==1 s

首先用演繹法：小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速度：

v₁=v₀×m/s

第一次碰撞后上升、回落需用時間：2t₁==(2×)×=2×s

小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率：

v₂=v₁×=(v₀×)×=v₀×()² m/s

第二次碰撞后上升、回落需用時間：2t₂=2v₂/g=2×()²

再用歸納法：依次類推可得：小球第n次和桌面碰撞后上升，回落需用時間：2t_n=2×() ⁿ (s)

所以小球從開始下落到經n次碰撞后靜止所用總時間為：

T=t₂+2t₁+2t₂+…+2t_n=1+2×+2×()²+…+2×(7/9)ⁿ=1+2×［+()²+…+()ⁿ］

括號內為等比級數(shù)求和，首項a₁=，公比q=，因為|q|＜1，

所以無窮遞減等比級數(shù)的和為：，所以T=1+2×=8 s