Question

如圖所示，水平傳送帶AB長L=4.5m，質(zhì)量為M=1kg的木塊隨傳送帶一起以v₁=1m/s的速度向右勻速運動（傳送帶的傳送速度恒定），木塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．當(dāng)木塊運動到傳送帶的最右端A點時，一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以v₀=300m/s水平向左的速度正好射入木塊并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1s就有一顆子彈射向木塊，并從木塊中穿出，設(shè)子彈穿過木塊的時間極短，且每次射入點各不相同，g取10m/s²，求：
（1）在被第二顆子彈擊中前木塊向右運動到離A點多遠處？
（2）木塊在傳送帶上最多能被多少顆子彈擊中？
（3）第一顆子彈射穿木塊時，從射中木塊到木塊相對傳送帶靜止的過程中，木塊和傳送帶摩擦?xí)r產(chǎn)生的熱能是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動量守恒定律求出第一顆子彈擊中木塊后，木塊的速度大小，木塊在傳送帶上先向左做勻減速運動，當(dāng)速度減為零后再向右做勻加速運動直至與傳送帶同速．根據(jù)運動學(xué)公式求出木塊與傳送帶保持相對靜止所需的時間等于子彈射出的時間間隔，根據(jù)動能定理求出在被第二顆子彈擊中前木塊向右運動到離A點的距離．
（2）求出木塊減速到零相對于地面運行的位移，結(jié)合每次子彈擊中木塊后，木塊相對于地面運行的距離和AB的長度求出最多能被幾顆子彈擊中．
（3）根據(jù)運動學(xué)公式求出第一顆子彈射穿木塊時，從射中木塊到木塊相對傳送帶靜止的過程中，木塊與傳送帶的相對位移，結(jié)合Q=f△x求出木塊和傳送帶摩擦?xí)r產(chǎn)生的熱能．

解答：解：（1）第一顆子彈擊中過程中，設(shè)子彈射穿木塊后，木塊的速度為v₂，子彈射穿木塊的過程中動量守恒
mv₀-Mv₁=mu+Mv₂
解得：v₂=4m/s．
木塊在傳送帶上先向左做勻減速運動，當(dāng)速度減為零后再向右做勻加速運動直至與傳送帶同速．設(shè)此過程中木塊運動的時間為t、對地的位移為S₁．以向右方向為正方向，則
f=μMg=Ma                                  
v₁-（-v₂）=at                                
解得t=

v1+v2

a

=

1+4

5

s=1s                     
由動能定理得：-fs1=

1

2

Mv12-

1

2

Mv22
解得s1=

M(v12-v22)

-2f

=

1-16

-2×0.5×10

=1.5m．
故在被第二顆子彈擊中前木塊向右運動到離A點1.5米處．
（2）設(shè)木塊在傳送帶上向左做勻減速運動，在速度減為零的過程中運動對地運動的位移為S₂，由動能定理得
s2=

0-Mv22

-2μMg

=

42

2×0.5×10

=1.6m         

L

s1

=

4.5

1.5

=3
由于s₂=1.6m故第三次子彈射穿木塊后，木塊將從傳送帶的左端滑下．
木塊在傳送帶上最多能被3顆子彈擊中．           
（3）設(shè)木塊在傳送帶上向左做勻減速運動的時間為t₁，此過程中傳送帶的位移為S₃，木塊再向右做勻加速運動直至與傳送帶同速過程中，木塊向右運動的時間為t₂，位移為S₄，傳送帶的位移為S₅，則
0-（-v₂）=at₁                                   
解得t1=

0+v2

a

=

4

5

=0.8s                          
s₃=v₁t₁=1×0.8=0.8m                              
t₂=t-t₁=1-0.8=0.2s                            
s4=

.

v

t2=

0+1

2

×0.2=0.1m．
s₅=v₁t₂=1×0.2m=0.2m                            
因而子彈穿過木塊后，設(shè)木塊與傳送帶間發(fā)生的相對位移為△x，則
△x=s₂+s₃+（s₅-s₄）=2.5m．
則木塊和傳送帶摩擦?xí)r產(chǎn)生的熱能
Q=f△x=μMg△x=12.5J．
答：（1）在被第二顆子彈擊中前木塊向右運動到離A點1.5m．
（2）木塊在傳送帶上最多能被3顆子彈擊中．
（3）第一顆子彈射穿木塊時，從射中木塊到木塊相對傳送帶靜止的過程中，木塊和傳送帶摩擦?xí)r產(chǎn)生的熱能是12.5J．

點評：解決本題的關(guān)鍵理清木塊的運動過程，結(jié)合牛頓第二定律、動量守恒定律和運動學(xué)公式進行求解．