Question

如圖所示，質(zhì)量為m的小球，由長為l的細(xì)線系住，線能承受的最大拉力是9mg，細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，現(xiàn)將小球拉直水平，然后由靜止釋放，小球在運(yùn)動過程中，不計細(xì)線與釘子碰撞時的能量損失，不考慮小球與細(xì)線間的碰撞．
（1）若釘鐵釘位置在E點(diǎn)，求細(xì)線與釘子碰撞前后瞬間，細(xì)線的拉力分別是多少？
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，求釘子位置在水平線EF上距E點(diǎn)距離的取值．

Answer 1

分析：（1）若釘子在E點(diǎn)，則小球經(jīng)過B點(diǎn)前后瞬間，速度大小不變，半徑變?yōu)樵瓉硪话�，先根�?jù)動能定理求出到達(dá)B點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式分別求出繩子的拉力；
（2）設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v₁，由牛頓第二定律及機(jī)械能守恒定律列式求解
x的最大值，小球恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)重力提供向心力，列出方程，從釋放到運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中運(yùn)用動能定理列出方程，聯(lián)立即可求解最小值，從而求出范圍．

解答：解：（1）小球釋放后沿圓周運(yùn)動，運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，設(shè)運(yùn)動到最低點(diǎn)速度為v，由機(jī)械能守恒定律得：
mgl=

1

2

mv2，碰釘子瞬間前后小球運(yùn)動的速率不變，碰釘子前瞬間圓周運(yùn)動半徑為l，碰釘子前瞬間線的拉力為F₁，碰釘子后瞬間圓周運(yùn)動半徑為

1

2

l，碰釘子后瞬間線的拉力為F₂，由圓周運(yùn)動、牛頓第二定律得：
F1-mg=

mv2

l

，
F2-mg=

mv2

1 2 l

得F₁=3mg，F(xiàn)₂=5mg
（2）設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，記DE=x₁，則：AD=

x12+( l 2 )2

懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動的半徑為：r₁=l-AD=l-

x12+( l 2 )2

當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v₁，由牛頓第二定律有：
F-mg=m

v12

r1

結(jié)合F≤9mg
由機(jī)械能守恒定律得：mg （

l

2

+r₁）=

1

2

mv₁²
由上式聯(lián)立解得：x₁≤

2

3

l
隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運(yùn)動的半徑越來越大．轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的臨界速度也越來越大，但根據(jù)機(jī)械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的瞬時速度越小，當(dāng)這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達(dá)圓的最高點(diǎn)了．
設(shè)釘子在G點(diǎn)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動到達(dá)圓的最高點(diǎn)，設(shè)EG=x₂，
則：AG=

x22+( l 2 )2

，r₂=l-AG=l-

x22+( l 2 )2

在最高點(diǎn)：mg≤

v12

r2

 由機(jī)械能守恒定律得：mg （

l

2

-r₂）=

1

2

mv₁² 聯(lián)立得：x₂≥

7

6

l
釘子位置在水平線EF上距E點(diǎn)距離的取值范圍是：

7

6

l≤x≤

2

3

l
答：（1）若釘鐵釘位置在E點(diǎn)，細(xì)線與釘子碰撞前后瞬間，細(xì)線的拉力分別是3mg和5mg；
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，則釘子位置在水平線EF上距E點(diǎn)距離的取值范圍為

7

6

l≤x≤

2

3

l．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)比較多，涉及到圓周運(yùn)動、機(jī)械能守恒定律和動能定理，要求同學(xué)們解題時能熟練運(yùn)用動能定理并結(jié)合幾何知識解題，難度較大．