Question

如圖，所示，兩平行光滑的金屬導軌AD、CE相距L=lm，導軌平面與水平面的夾角α=30°，下端用導線連接R=0.4Ω的電阻，導軌電阻不計．PQGH范圍內存在方向垂直導軌平面向上的磁場，磁場的寬度d=0.4m，邊界PQ、HG均與導軌垂直．質量m=0．lkg．電阻r=0.6Ω的金屬棒MN垂直放置在導軌上，且兩端始終與導軌接觸良好，從與磁場上邊界GH距離為d的位置由靜止釋放．取g=l0m/s²．
（1）若PQGH內存在著勻強磁場，金屬棒進入磁場恰好做勻速運動，求磁感應強度B：
（2）在（1）問的情況下，金屬棒在磁場區(qū)域運動的過程中，電阻R上產生的熱量是多少？
（3）若PQGH內存在著磁感應強度沿斜面方向變化的磁場（在同一高度處磁感應強度相同），金屬棒進入磁場后，以a=2.5m/s²的加速度做勻加速運動，請寫出磁感應強度B和金屬棒在磁場中位移x的關系表達式．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理列式求解剛進入磁場的速度；在磁場中，棒受重力、支持力和安培力，根據平衡條件列式；然后聯立求解B即可；
（2）金屬棒在磁場區(qū)域運動的過程中，根據能量守恒定律可求得回路中產生的總熱量，再根據電路的連接關系，求出電阻R上產生的熱量．
（3）先推導出安培力與x的關系，再根據牛頓第二定律得到B與x的關系式．

解答：解：（1）從釋放到剛進入磁場過程，有：mgdsinα=

1

2

mv2
得：v=

2gdsinα

=

2×10×0.4×sin30°

=2m/s
在磁場中，棒受重力、支持力和安培力，根據平衡條件，有：mgsinα=BIL；
切割電動勢：E=BLv；
根據閉合電路歐姆定律，有：I=

E

R+r

；
聯立解得：B=

1

L

mgsinα(R+r) v

代入解得：B=0.5T
（2）金屬棒在磁場區(qū)域運動的過程中，根據能量守恒定律得：
回路中產生的總熱量為：Q=mgdsinα=0.1×10×0.4×0.5J=0.2J
電阻R上產生的熱量是：Q_R=

R

R+r

Q=

0.4

0.4+0.6

×0.2J=0.08J
（3）設金屬棒進入磁場后，運動位移x時速度為v′，則有v′²-v²=2ax
則：v′=

v2+2ax

此時感應電動勢為 E′=BLv′；感應電流為：I′=

E′

R+r

所受的安培力大小為：F=BI′L
聯立得：F=

B2L2

R+r

v2+2ax

根據牛頓第二定律得：mgsinα-F=ma
則得；mgsinα-

B2L2

R+r

v2+2ax

=ma
故：B²=

mgsinα-ma

L2 v2+2ax

=

0.1×10×0.5-0.1×2.5

12× 22+2×2.5×x

=

0.25

4+5x

所以得：B=

1

2 4 4+5x

．
答：（1）磁感應強度B為0.5T：
（2）在（1）問的情況下，金屬棒在磁場區(qū)域運動的過程中，電阻R上產生的熱量是0.08J．
（3）磁感應強度B和金屬棒在磁場中位移x的關系表達式為B=

1

2 4 4+5x

．．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，推導安培力的表達式是解題的關鍵．