Question

如圖所示，圓管構成的半圓形豎直軌道固定在水平地面上，軌道半徑R為5m，MN為直徑且與水平面垂直，直徑略小于圓管內徑的小球A以某一初速度V₀從N點沖進軌道，到達半圓軌道最高點M時與靜止于該處的質量與A相同的小球B發(fā)生彈性碰撞，碰后A、B兩球交換速度，B球水平飛出軌道，落地點距N點距離為10m；A球從最高點初速度為零沿原路返回，水平地面的動摩擦系數(shù)μ為0.5．重力加速度g取10m/s²，忽略圓管內徑，空氣阻力及圓管內部摩擦不計，求：
（1）B球從水平飛出軌道到落地的時間；
（2）小球A沖進軌道時初速度V₀的大小；
（3）A、B兩球最終在水平面上的距離（設B球落地后不再運動）．

Answer 1

分析：（1）B球飛出軌道后做平拋運動，豎直方向分運動為自由落體運動，下落的高度為h=2R，由h=

1

2

gt2求解平拋運動的時間．
（2）B球平拋運動的水平距離為S_B=10m，由S_B=v_Bt可求出B的初速度大小．由于碰撞過程交換速度，則知碰撞前A球的速度大�。�小球A從最低點到最高點過程中，只有重力做功，其機械能守恒，即可求解球A沖進軌道時初速度v₀的大小．
（3）小球A從最高點滑到N點的過程，由機械能守恒定律求得滑到N點的速度大�。�由動能定理求出A在水平面上滑行的距離，即可求出A、B兩球最終在水平面上的距離．

解答：解：（1）B球飛出軌道后做平拋運動，豎直方向分運動為自由落體運動，有：
   2R=

1

2

gt²，解得t=2

R g

=

2

s
（2）設球A的質量為m，A碰B前速度大小為V_A，把球A沖進軌道最低點位置的重力勢能定為0，由機械能守恒定律知
 

1

2

mV₀²=

1

2

mV_A²+mg?2R
B球飛出軌道后做平拋運動，水平方向分運動為勻速直線運動，設B球速度為V_B，有S_B=V_Bt=V_At，得
  V_A=

gR

=5

2

m/s，
則：V₀=

5gR

=5

10

m/s
（3）A球再次經N點向右滑出，

1

2

mV_A2²=mg?2R，得速度為V_A2=

4gR

=10

2

m/s
A球在水平面滑行過程，由動能定理得
-μmgSA=0-

1

2

mV_A2²
解得SA=

VA22

2μg

=

2R

μ

=20m，
A向右運動碰撞原來靜止的B球，則A、B兩球速度交換，A停在原B球的位置不動，B球以A球的速度繼續(xù)前進，最終靜止．
則A、B間距為S_A-S_B=10m．
答：
（1）B球從水平飛出軌道到落地的時間是

2

s；
（2）小球A沖進軌道時初速度V₀的大小是5

10

m/s；
（3）A、B兩球最終在水平面上的距離是10m．

點評：本題涉及多個過程，分析小球的運動過程，把握運動的規(guī)律是關鍵，實質是機械能守恒定律與平拋運動、動能定理等等知識的綜合應用．