Question

14．如圖，AB 是一段粗糙的固定斜面μ=$\frac{7}{12}$，長度s=1m，與水平面的傾角θ=53°．另有一固定豎直放置的光滑圓弧形軌道剛好在B點(diǎn)與斜面相切，圓弧形軌道半徑R=0.3m，O點(diǎn)是圓弧軌道的圓心．將一質(zhì)量m=0.2kg的小物塊從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過B點(diǎn)、和最低C點(diǎn)．重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小？
（2）小物塊到C點(diǎn)時(shí)對軌道壓力的大小？
（3）分析說明小物塊能否通過圓軌道的最高點(diǎn)D？

Answer 1

分析 （1）小物塊沿傾斜軌道下滑時(shí)只有重力和摩擦力對物塊做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得小物塊滑到B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）從B到C點(diǎn)過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得在C點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓第二一定律求得C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小；
（3）假定小物塊能到達(dá)D時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理求得在D點(diǎn)的速度，再根據(jù)能通過最高點(diǎn)的臨界條件判斷能否通過最高點(diǎn)．

解答 解：（1）小球沿斜面下滑時(shí)只有重力和摩擦力做功，根據(jù)摩擦定律由動(dòng)能定理可得：
$mgssinθ-μmgscosθ=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
由此代入數(shù)據(jù)可解得：${v}_{B}=\sqrt{2gssinθ-2μgscosθ}$=3m/s；
（2）從B到C只有重力對物塊做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$     ①
在最低點(diǎn)C，軌道對物塊的支持力與物塊重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$F-mg=m\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$   ②
代入v_B由①②兩式可解得：F=9.6N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小物塊在C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為9.6N；
（3）假定小球通通過最高點(diǎn)D，根據(jù)動(dòng)能定理小球從B到D過程中有：
-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可解得：v_D=$\sqrt{-0.6}$，顯然可知，小球不能到達(dá)最高點(diǎn)D．
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為3m/s；
（2）小物塊到C點(diǎn)時(shí)對軌道壓力的大小為9.6N；
（3）小物塊不能通過圓軌道的最高點(diǎn)D．

點(diǎn)評 正確的對物體進(jìn)行受力分析和做功分析，由動(dòng)能定理求解物體的速度，掌握豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)通過最高點(diǎn)的臨界條件是正確解題的關(guān)鍵．