Question

如圖所示，長為L的木板A靜止在光滑的水平桌面上，A的左端上方放有小物體B（可視為質(zhì)點），一端連在B上的細繩，繞過固定在桌子邊沿的定滑輪后，另一端連在小物體C上，設(shè)法用外力使A、B靜止，此時C被懸掛著．A的右端距離滑輪足夠遠，C距離地面足夠高．已知A的質(zhì)量為6m，B的質(zhì)量為3m，C的質(zhì)量為m．現(xiàn)將C物體豎直向上提高距離2L，同時撤去固定A、B的外力．再將C無初速釋放，當(dāng)細繩被拉直時B、C速度的大小立即變成相等，由于細繩被拉直的時間極短，此過程中重力和摩擦力的作用可以忽略不計，細繩不可伸長，且能承受足夠大的拉力．最后發(fā)現(xiàn)B在A上相對A滑行的最大距離為

1

2

L．細繩始終在滑輪上，不計滑輪與細繩之間的摩擦，計算中可認為A、B之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求細繩被拉直前瞬間C物體速度的大小υ₀；
（2）求細繩被拉直后瞬間B、C速度的大小υ；
（3）在題目所述情景中，只改變C物體的質(zhì)量，可以使B從A上滑下來．
設(shè)C的質(zhì)量為km，求k至少為多大？

Answer 1

（1）C做自由落體運動，下降高度為2L時的速度為v₀，根據(jù)v_t²-v₀²=2ax得
v₀=2

gl

（2）此時細繩被拉直，B、C速度的大小立即變成v，設(shè)繩子對B、C的沖量大小為I，根據(jù)動量定理得
對B   I=3mv
對C-I=mv-mv₀
解得B、C速度的大小v=

gL

2

（3）設(shè)C物體的質(zhì)量為km，A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ
由（2）可知，細繩被拉直時B、C速度的大小v?=

k

3+k

v0
此后B物體的加速度  kmg-μ?3mg=（3m+km）a₁ 
a1=

kmg-μ?3mg

3m+km

=

k-3μ

3+k

g
A物體的加速度  μ?3mg=6ma₂ 
a2=

μ?3mg

6m

=

μ

2

g
經(jīng)時間t，B物體的速度        v₁=v'+a₁t
B物體的位移        x1=v′t+

1

2

a1t2
同樣，A物體的速度  v₂=a₂t
A物體的位移   x2=

1

2

a2t2
（i）根據(jù)題意，若k=1，當(dāng)v₁=v₂時，x₁-x₂=

L

2

，解μ=0.4；
（ii）要使v₁=v₂時，x₁-x₂=L，利用（i）求得的動摩擦因數(shù)μ，
可得k=

9

7

=1.29；
即C物體的質(zhì)量至少為1.29m時，才可以使B物體從A上滑下來．