Question

如圖4-4-13所示，兩根細(xì)繩AC、BC系一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小球，繩AC長(zhǎng)為l=2m，兩繩都拉直時(shí)與豎直軸夾角分別為30°和45°.試分析小球隨豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω在什么范圍內(nèi)，兩繩始終拉緊？當(dāng)ω=3rad/s時(shí),兩繩拉力各為多大？（取g=10m/s²）

圖4-4-13

Answer 1

解析：由題意可看出，當(dāng)小球角速度很小時(shí)，小球離心趨勢(shì)小，只有繩AC拉緊，當(dāng)小球角速度很大時(shí)，小球離心趨勢(shì)大，只有繩BC拉緊，此兩種情況小球所需向心力

由兩繩拉力分別與重力的合力提供，據(jù)牛頓第二定律與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可求得角速度的最小值與最大值，從而確定兩繩同時(shí)拉緊時(shí)的角速度范圍.當(dāng)ω=3 rad/s時(shí)，首先判斷是哪根繩子拉緊或者是同時(shí)拉緊，進(jìn)而判斷向心力來(lái)源，據(jù)牛頓第二定律與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)列方程求得兩繩拉力.

   兩繩張緊時(shí)，小球受重力mg、AC繩拉力F₁和BC繩拉力F₂如圖所示.若角速度由0逐漸增大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)兩種臨界情況.

（1）BC繩恰好拉直，F(xiàn)₂=0，此時(shí)角速度為ω₁，F(xiàn)₁和mg的合力提供小球在半徑r₁=lsin30°的圓周上運(yùn)動(dòng)所需向心力，mgtan30°=mrω₁²,聯(lián)立以上兩式且代入數(shù)據(jù)得ω₁=2.4 rad/s

AC繩仍拉直，但F₁=0，此時(shí)角速度為ω₂，F(xiàn)₂和mg的合力提供向心力，mgtan45°=mr₂ω²，r₂=r₁=lsin30°,聯(lián)立解得ω₂=3.2 rad/s，要使兩繩始終張緊，角速度的取值范圍為2.4 rad/s≤ω≤3.2 rad/s.

（2）當(dāng)ω=3 rad/s時(shí)，F(xiàn)₁和F₂同時(shí)存在，對(duì)小球應(yīng)用牛頓第二定律有：

F₁sin30°+F₂sin45°=mlsin30°ω²,F₁cos30°+F₂cos45°-mg=0，兩式聯(lián)立且代入數(shù)據(jù)解得F₁=0.27 N,F₂=1.1 N.