Question

（14分）如圖所示，AB為傾角θ＝37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑，CB部分粗糙。BP為圓心角等于143°，半徑R=1m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)，P、0兩點(diǎn)在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點(diǎn),另一自由端在斜面上C點(diǎn)處，現(xiàn)有一質(zhì)量m = 2kg的物塊在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點(diǎn)后（不栓接）釋放，物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后，從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中的位移與時(shí)間的關(guān)系為（式中x單位是m , t單位是s），假設(shè)物塊笫一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后恰能到達(dá)P點(diǎn)，（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)，g取1Om/s²。

試求：（1） 若CD=1m，試求物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功；
（2） B、C兩點(diǎn)間的距離x
（3） 若在P處安裝一個(gè)豎直彈性擋板，小物塊與擋板碰撞時(shí)間極短且無(wú)機(jī)械能損失，小物塊與彈簧相互作用不損失機(jī)械能，試通過(guò)計(jì)算判斷物塊在第一次與擋板碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否會(huì)脫離軌道？

Answer 1

(1)156J  (2)  (3)不會(huì)

試題分析：（1）由，知，物塊在C點(diǎn)速度為
設(shè)物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功為W，由動(dòng)能定理得：
代入數(shù)據(jù)得：    （5分）
（2）由知，物塊從C運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程中的加速度大小為
設(shè)物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，由牛頓第二定律得
 代入數(shù)據(jù)解得
物塊在P點(diǎn)的速度滿足
物塊從B運(yùn)動(dòng)到P的過(guò)程中機(jī)械能守恒，則有 
物塊從C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中有 
由以上各式解得      （5分）
（3）假設(shè)物塊第一次從圓弧軌道返回并與彈簧相互作用后，能夠回到與O點(diǎn)等高的位置Q點(diǎn)，且設(shè)其速度為，由動(dòng)能定理得
解得
可見(jiàn)物塊返回后不能到達(dá)Q點(diǎn)，故物塊在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)脫離軌道。    （4分）