Question

8．我國啟動“嫦娥工程”以來，已經(jīng)發(fā)射了三艘“嫦娥”探月飛行器，2013年12月實(shí)現(xiàn)了探測器月面軟著陸，這標(biāo)志著我國探月工程進(jìn)入了一個新的階段．
（1）若已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動近似看作勻速圓周運(yùn)動，求月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑r；
（2）若宇航員登陸月球后，為了測定月球表面的重力加速度，采用了一種被稱為“對稱自由下落”的測量方法，其測量原理是：將長直管沿豎直方向放置，如圖所示，小球自O(shè)點(diǎn)豎直向上拋出至落回O點(diǎn)所用時間t₁=2s（過程中沒有到達(dá)長直管頂部），小球運(yùn)動過程中兩次經(jīng)過比O點(diǎn)高h(yuǎn)=$\frac{5}{8}$m的P點(diǎn)的時間間隔t₂=1s，試根據(jù)測量結(jié)果計算出月球表面的重力加速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬有引力列式求解；
（2）本題考查了豎直上拋運(yùn)動的對稱性，物體做豎直上拋時其上升到最高點(diǎn)所用時間和落回所用時間相等，整個過程為勻變速運(yùn)動，可以看作先向上的勻減速運(yùn)動，然后向下的自由落體運(yùn)動兩部分組成．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律和向心力公式得：
$\frac{GM{M}_{月}}{{r}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{T}$）²r
且mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）小球從O點(diǎn)上升到最大高度過程中：
h₁=$\frac{1}{2}$g （$\frac{{t}_{1}}{2}$）²   ①
小球從P的上升的最大高度：
h₂=$\frac{1}{2}$g（$\frac{{t}_{2}}{2}$）²    ②
依據(jù)題意：h₁-h₂=h  ③
聯(lián)立①②③解得：g=$\frac{8h}{{t}_{1}^{2}-{t}_{2}^{2}}$=$\frac{8×\frac{5}{8}}{{2}^{2}-{1}^{2}}$=1.67m/s²；
答：（1）月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球表面的重力加速度1.67m/s²

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，以及衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力進(jìn)行列式求解．
分析物體運(yùn)行形式，根據(jù)運(yùn)動特點(diǎn)，然后選擇相應(yīng)的規(guī)律求解是解決運(yùn)動問題的基本思路，要在學(xué)習(xí)中不斷培養(yǎng)解題思路．