Question

宇航員離地球表面h高度以一定初速度水平拋出一小球，水平射程為x₀；若他在離某星球表面相同高度h處以相同的初速度水平拋出同一小球，水平射程為2x₀．（取地球表面重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計(jì)）
（1）求該星球表面附近的重力加速度g′；
（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星：R_地=1：4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析：（1）平拋運(yùn)動(dòng)的加速度即為重力加速度，平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出時(shí)間，再根據(jù)水平初速度和時(shí)間求出位移，得出重力加速度的關(guān)系，運(yùn)用比例法求解即可．
（2）物體在星球表面上，重力近似等于萬(wàn)有引力，列式，可得到星球的質(zhì)量與表面重力加速度的關(guān)系，進(jìn)行求解．

解答：解：（1）根據(jù)h=

1

2

gt2得，t=

2h g

，則水平射程x=v₀t=v₀

2h g

，得g=

2h v 2 0

x2

因?yàn)槌跛俣认嗟龋�高度相等，則星球表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為
 

g′

g

=

x 2 0

(2x0)2

=

1

4

則得 g′=

1

4

g=2.5 m/s²；
（2）設(shè)任一星球的質(zhì)量為M，半徑為R，物體的質(zhì)量為m．在星球表面上，物體所受的重力近似等于星球的萬(wàn)有引力，則有
  G

Mm

R2

=mg
則得 M=

gR2

G

則有M_星：M_地=g′

R

2 星

：g

R

2 地

=1：64
答：（1）該星球表面附近的重力加速度g′是2.5 m/s²；
（2）該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M_星：M_地是1：64．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)的分解方法和重力等于萬(wàn)有引力，基本題．