Question

如圖所示，內(nèi)壁光滑的木槽質(zhì)量為m_A=m，內(nèi)直徑為2L，置于水平桌面上，槽與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．槽內(nèi)有兩個(gè)小球B、C，它們的質(zhì)量分別是m_B=m，m_C=2m．現(xiàn)用兩球?qū)⒑芏痰妮p彈簧壓緊（球與彈簧不連接），且B球到木槽左端、C球到木槽右端的距離均為L(zhǎng)，這時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為E_P=μmgL．同時(shí)釋放B、C球，并假設(shè)小球與槽碰撞后不分離，碰撞時(shí)間不計(jì)．求：
（1）第1個(gè)小球與槽碰撞后的共同速度？
（2）第2個(gè)小球與槽碰撞后的共同速度？
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桌面與槽摩擦產(chǎn)生的熱量？

Answer 1

（1）釋放瞬間：m_Bv_B=m_Cv_C       
E_P=

1

2

mBvB2+

1

2

mCvC2
解得：vB=

4 3 μgL

vC=

1 3 μgL

物體B經(jīng)時(shí)間t₁=

L

vB

=

3L 4μg

先與木槽A相撞    
有：m_Bv_B=（m_A+m_B）v_1共
解得：v_1共=

μgL 3

小球與槽碰撞后的共同速度為

μgL 3

；
（2）木槽A與B球相撞后，一起向左勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度a=

μ(mA+mB+mC)g

mA+mB

=2μg
木槽A和球B相撞后速度減為0的時(shí)間t2=

v1共

a

=

L 12μg

在（t₁+t₂）這段時(shí)間內(nèi)，物體C和槽移動(dòng)的距離之和為：s=vC(t1+t2)+

1

2

v1共t2=

3

4

L＜L所以在C 與A相撞前A已停止運(yùn)動(dòng)
再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，球C和木槽相撞，有：m_Cv_C=（m_A+m_B+m_C）v_2共
解得v_2共=

μgL 12

，方向水平向左．
小球與槽碰撞后的共同速度為

μgL 12

，方向水平向左；
（3）第一次相撞后A與B的總動(dòng)能全都轉(zhuǎn)化為為摩擦熱Q1=Ek1=

1

2

(mA+mB)v1共2=

1

3

μmgL
第二次相撞后系統(tǒng)的總動(dòng)能全都轉(zhuǎn)化為為摩擦熱Q2=Ek2=

1

2

(mA+mB+mC)v2共2=

1

6

μmgL
整個(gè)過(guò)程中桌面和木槽因摩擦而產(chǎn)生的熱量為Q=Q1+Q2=

1

2

μmgL
桌面與槽摩擦產(chǎn)生熱量為

1

2

μmgL．