Question

【題目】人類對未知事物的好奇和科學家們的不懈努力，使人類對宇宙的認識越來越豐富。

(1)開普勒堅信哥白尼的“日心說”，在研究了導師第谷在20余年中堅持對天體進行系統(tǒng)觀測得到的大量精確資料后，提出了開普勒三定律，為人們解決行星運動問題提供了依據(jù)，也為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律提供了基礎。

開普勒認為：所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。行星軌道半長軸的三次方與其公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個常量。實際上行星的軌道與圓十分接近，在中學階段的研究中我們按圓軌道處理。請你以地球繞太陽公轉(zhuǎn)為例，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律推導出此常量的表達式。

(2)天文觀測發(fā)現(xiàn)，在銀河系中，由兩顆相距較近、僅在彼此間引力作用下運行的恒星組成的雙星系統(tǒng)很普遍。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一點做勻速圓周運動，周期為T，兩顆恒星之間的距離為d，引力常量為G。求此雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。

(3)北京時間2019年4月10日21時，由全球200多位科學家合作得到的人類首張黑洞照片面世，引起眾多天文愛好者的興趣。

同學們在查閱相關資料后知道：①黑洞具有非常強的引力，即使以3×108m/s的速度傳播的光也不能從它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的倍，這個關系對于其他天體也是正確的。③地球質(zhì)量me =6.0×1024kg，引力常量G= 6.67×10-11N m 2/ kg 2。

請你根據(jù)以上信息，利用高中學過的知識，通過計算求出：假如地球變?yōu)楹诙�，在質(zhì)量不變的情況下，地球半徑的最大值（結果保留一位有效數(shù)字）。（注意：解題過程中需要用到、但題目沒有給出的物理量，要在解題時做必要的說明）

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 9×10-3m

【解析】

⑴設太陽質(zhì)量為ms，地球質(zhì)量為me，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r

太陽對地球的引力是地球做勻速圓周運動的向心力

根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律

解得常量

⑵設雙星的質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2

根據(jù)萬有引力定律及牛頓運動定律

且有

雙星總質(zhì)量

⑶設地球質(zhì)量為me，地球半徑為R。質(zhì)量為m的物體在地球表面附近環(huán)繞地球飛行時，環(huán)繞速度為v1

由萬有引力定律和牛頓第二定律

解得

逃逸速度

假如地球變?yōu)楹诙?/span>

v2≥c

代入數(shù)據(jù)解得地球半徑的最大值

R=9×10-3m