Question

4．玻爾的原子模型認為，電子繞核運動的軌道是量子化的，原子的能量也是量子化的．氫原子能級圖如圖所示，求：
（1）一個氫原子從n=3能級躍遷到n=2能級時，該氫原子向外輻射出的能量是多少 eV？
（2）設氫原子核外電子繞核做勻速圓周運動（忽略電子的自轉），可將電子的運動等效為一個環(huán)形電流，求這個環(huán)形電流的大�。�（已知電子的質量為m、軌道半徑為r，靜電力常量k，元電荷電量e．）
（3）1885年，巴爾末通過對氫光譜可見光的4條譜線的分析，總結出了這些譜線波長滿足的關系式，后來被里德堡修改為$\frac{1}{λ}$=R_H（$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$）（n=3，4，5，6，…R_H為里德堡常量）．1913年，玻爾在他的原子模型理論中提出氫原子的能級公式E_n=$\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$（n=1，2，3，…，E₁為基態(tài)能級）及躍遷假設，很好地解釋了巴爾末觀察到的譜線．已知光速c，普朗克常量h．請你根據(jù)以上信息推導里德堡常量與普朗克常量的關系．

Answer 1

分析 （1）由玻爾理論，即可求出躍遷的過程中氫原子向外輻射出的能量；
（2）根據(jù)庫侖力提供學習機，以及電流的定義式即可求出；
（3）根據(jù)巴耳末-里德伯公式，可得出由n=∞→k=2躍遷時發(fā)出的能量，再根據(jù)光電效應方程，即可求解．

解答 解：（1）由玻爾理論，則躍遷的過程中氫原子向外輻射出的能量：
E=E₃-E₂=-1.51-（-3.4）=1.89eV
（2）由庫侖力提供向心力得：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{mr（2π）^{2}}{{T}^{2}}$
又：I=$\frac{e}{t}$
得：I=$\frac{{e}^{2}}{2πr}\sqrt{\frac{k}{mr}}$
（3）將n=3代入$\frac{1}{λ}$=R_H（$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$）中得：$\frac{1}{λ}$=${R}_{H}（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$   ①
由玻爾能級公式：${E}_{n}=\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$
可得：${E}_{3}-{E}_{2}=\frac{{E}_{1}}{{3}^{2}}-\frac{{E}_{1}}{{2}^{2}}$  ②
又由${E}_{3}-{E}_{2}=\frac{hc}{λ}$③
由①②③可得：${R}_{H}=-\frac{{E}_{1}}{hc}$
答：（1）一個氫原子從n=3能級躍遷到n=2能級時，該氫原子向外輻射出的能量是1.89 eV；
（2）設氫原子核外電子繞核做勻速圓周運動（忽略電子的自轉），可將電子的運動等效為一個環(huán)形電流，這個環(huán)形電流的大小是$\frac{{e}^{2}}{2πr}\sqrt{\frac{k}{mr}}$；
（3）里德堡常量與普朗克常量的關系為${R}_{H}=-\frac{{E}_{1}}{hc}$．

點評 考查玻爾理論以及玻爾理論的理論基礎，掌握躍遷時釋放的能量，注意理解玻爾理論即可正確解答．