Question

4．“嫦娥三號(hào)”于2013年12月2日凌晨在四川省西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，先后經(jīng)過(guò)近月制動(dòng)、環(huán)月圓軌道飛行（軌道高度距月表100km）、變軌控制進(jìn)入環(huán)月橢圓軌道運(yùn)行等動(dòng)作，在著陸準(zhǔn)備階段“嫦娥三號(hào)”從距月表15km的近月點(diǎn)（著陸制動(dòng)點(diǎn)）開(kāi)始在7500N的變推力空間發(fā)動(dòng)機(jī)的作用下開(kāi)始減速，在距月表100m時(shí)懸停，借“眼睛”觀測(cè)著陸區(qū)狀況，由于月球表面沒(méi)有空氣，所以不能使用降落傘實(shí)現(xiàn)“嫦娥三號(hào)”的軟著陸，而用空間發(fā)動(dòng)機(jī)向下噴氣實(shí)現(xiàn)軟著陸又會(huì)吹起月球表的塵埃而影響“嫦娥三號(hào)”著陸后的工作，為此要在“嫦娥三號(hào)”落至距月表4m高時(shí)再次使其速度減為零，并關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，使“嫦娥三號(hào)”直接落向月表．
     已知月球半徑是地球半徑的$\frac{3}{11}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，地球表面的重力加速度為g=10m/s²，地球的半徑R=6.4×10⁶m，“嫦娥三號(hào)”的質(zhì)量m=140kg．求：
（1）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大�。唬ūＡ�2位有效數(shù)字）
（2）“嫦娥三號(hào)”軟著陸時(shí)到達(dá)月表的速度的大�。唬ūＡ�2位有效數(shù)字）
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過(guò)程中，空間發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦娥三號(hào)”所做的功．

Answer 1

分析 （1）在星球表面根據(jù)萬(wàn)有引力與重力相等由地球表面重力加速度求得月球表面重力加速度，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供嫦娥三號(hào)圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得嫦娥三號(hào)在軌道上的速度大小；
（2）根據(jù)自由落體由月球表面的重力加速度和下落高度求得嫦娥三號(hào)到達(dá)月球表面的速度大�。�
（3）在此過(guò)程中只有重力和發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)嫦娥三號(hào)做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功即可．

解答 解：（1）據(jù)星球表面重力與萬(wàn)有引力相等有
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以可得月球表面的重力加速度$g′=\frac{G\frac{1}{81}M}{（\frac{3}{11}R）^{2}}=\frac{121}{729}g=1.6m/{s}^{2}$
對(duì)于月球的半徑R′=$\frac{3}{11}R=\frac{3}{11}×6.4×1{0}^{6}m$=1.75×10⁶m
所以有：$G\frac{mM′}{R{′}^{2}}=mg′$
在環(huán)月軌道上有：$G\frac{mM′}{（R′+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R′+h}$
可得$v=\sqrt{\frac{GM′}{R′+h}}$=$\sqrt{\frac{g′R{′}^{2}}{R′+h}}$=$\sqrt{\frac{1.6×（1.75×1{0}^{6}）^{2}}{1.75×1{0}^{6}+100×1{0}^{3}}}m/s$=1.6×10³m/s
（2）嫦娥三號(hào)軟著陸過(guò)程中為自由落體運(yùn)動(dòng)，據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，到達(dá)月球表面的速度
${v}_{1}=\sqrt{2g′h′}=\sqrt{2×1.6×4}m/s$=3.6m/s
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過(guò)程中，只有月球重力和發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)嫦娥三號(hào)做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
mg′H+W=0-0
可得W=-mg′H=-140×1.6×（100-4）J=-21504J
答：（1）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大小1.6×10³m/s；
（2）“嫦娥三號(hào)”軟著陸時(shí)到達(dá)月表的速度的大小為3.6m/s；
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過(guò)程中，空間發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦娥三號(hào)”所做的功為-21504J．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力應(yīng)用問(wèn)題主要從萬(wàn)有引力與重力相等和萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力兩方面入手求解，注意結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律和機(jī)械能守恒．