Question

在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一條與電場(chǎng)線平行的幾何線，如圖中虛線所示.幾何線上有兩個(gè)靜止的小球A和B(均可看作質(zhì)點(diǎn))，兩小球的質(zhì)量均為m，A球帶電荷量+Q，B球不帶電.開(kāi)始時(shí)兩球相距L，在電場(chǎng)力的作用下，A球開(kāi)始沿直線運(yùn)動(dòng)，并與B球發(fā)生正對(duì)碰撞，碰撞過(guò)程中A、B兩球的總動(dòng)能無(wú)損失.設(shè)在各次碰撞過(guò)程中，A、B兩球間無(wú)電量轉(zhuǎn)移，且不考慮重力及兩球間的萬(wàn)有引力.問(wèn)：

(1)A球經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與B球發(fā)生第一次碰撞?

(2)第一次碰撞后，A、B兩球的速度各為多大?

(3)請(qǐng)猜測(cè)在以后A、B兩球再次不斷地碰撞的時(shí)間間隔會(huì)相等嗎?并對(duì)猜測(cè)的結(jié)論進(jìn)行論證.如果相等，請(qǐng)計(jì)算出時(shí)間間隔T，如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)對(duì)小球A進(jìn)行研究，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式有：

QE=ma  ① 

  L=at²  ② 

解①②得t=  ③ 

(2)由動(dòng)量守恒得mv=mv₁+mv₂  ④ 

又由碰撞的過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，得

mv²=mv₁²+mv₂²  ⑤ 

其中v₁為A碰撞后的速度，v₂為B碰撞后的速度.

解④⑤得，v₁=0，v₂=v，⑥ 

又由動(dòng)量定理，mv²=QEL  ⑦ 

故v₁=0，v₂=  ⑧ 

(3)由(2)可知，A、B兩球碰后速度交換，故a=v₂t₂  t₂= 

第二次碰撞后A球速度為v₂，B球速度為v₃，所以v₃=at₂=2v₂

由位移關(guān)系得v₂t₃+a=v₃t₃所以t₃= 

依此類推，得v_n-1t_n+a=v_nt_n，得t_n=