Question

科學(xué)家正在研究架設(shè)一條長度約為10萬公里的從地面到太空的“太空梯”，由纜繩、海面基地、太空站和升降機(jī)組成．纜繩用質(zhì)量輕、強(qiáng)度大、韌度高的“碳納米管”制成，纜繩一端固定在位于赤道某處的海面基地上，另一端固定在位于太空的巨大太空戰(zhàn)上．除升降機(jī)外，整個(gè)裝置相對于地面保持靜止，且繃直的纜繩始終垂直于海平面指向地心．升降機(jī)上裝有兩套履帶裝置，從兩側(cè)緊扣纜繩，這樣升降機(jī)就可以沿纜繩上下運(yùn)動，或者在摩擦力作用下牢牢固定在纜繩上任意位置，如圖所示．
設(shè)想在太空中距離地面某一高度，升降機(jī)與纜繩之間的相互作用力恰好為零，且相對于纜繩保持靜止?fàn)顟B(tài)，求此時(shí)升降機(jī)距離地面的高度．已知地球半徑R，地球表面重力加速度g，地球自轉(zhuǎn)角速度ω．

Answer 1

分析：纜繩跟地球具有相同的角速度，通過萬有引力提供向心力來求解，從而知道管道的長度．

解答：解：設(shè)地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，則質(zhì)量為m₀的物體在地面受到的重力與萬有引力大小近似相等　　　
m₀g=G

Mm0

R2

①
設(shè)在距地面h高處，質(zhì)量為m的升降機(jī)與纜繩之間相互作用力恰好為零，此時(shí)由萬有引力提供升降機(jī)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心力，
由牛頓第二定律：
G

Mm

(R+h)2

=mω2(R+h)②
由①②得：h=(

gR2

ω2

)

1

3

-R
答：此時(shí)升降機(jī)距離地面的高度(

gR2

ω 2

)

1

3

-R．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和和萬有引力等于重力．