Question

3．在如圖的坐標(biāo)系中，其中第一象限和第四象限存在垂直平面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在坐標(biāo)系原點(diǎn)的左側(cè)2a處有一粒子發(fā)射源，y軸上有兩點(diǎn)M、N，且兩點(diǎn)距離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均為a，在坐標(biāo)原點(diǎn)左側(cè)$\frac{L}{3}$處固定一長(zhǎng)度為$\frac{2L}{3}$彈性絕緣板，垂直x放置且絕緣板關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖所示．現(xiàn)粒子源發(fā)射一重力不計(jì)的帶電粒子，帶電粒子沿SM的連線方向由M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．已知帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為-q，帶電粒子與絕緣板碰后的豎直方向的速度不變，水平方向的速度與碰前的方向相反且大小不變．求：
（1）帶電粒子的速度多大時(shí)帶電粒子能由M點(diǎn)直接運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)；
（2）如果帶電粒子能由M點(diǎn)直接運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，則帶電粒子第一次通過(guò)x軸時(shí)距離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為多大；
（3）帶電粒子的速度多大時(shí)，帶電粒子與絕緣板碰撞兩次且能回到S點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，根據(jù)半徑公式求出粒子的速度．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，通過(guò)幾何關(guān)系求出第一次經(jīng)過(guò)x軸的位置距原點(diǎn)的距離
（3）抓住與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，作出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，設(shè)SM與x軸正方向夾角為θ，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小為${R}_{1}^{\;}$，由幾何關(guān)系得${R}_{1}^{\;}cosθ=L$，其中$cosθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，解得${v}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$
（2）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，設(shè)其與x軸交點(diǎn)為C，由幾何關(guān)系得${R}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{5}}{4}L$，設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為${x}_{C}^{\;}$，由幾何關(guān)系得，帶電粒子第一次通過(guò)坐標(biāo)軸距離原點(diǎn)$\frac{L}{2}$
（3）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示，設(shè)SM與x軸正方向的夾角為θ，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小為${R}_{3}^{\;}$，偏轉(zhuǎn)一次后在y負(fù)方向偏移量為$△{y}_{1}^{\;}$，由幾何關(guān)系得$△{y}_{1}^{\;}=2{R}_{3}^{\;}cosθ$，為保證粒子最終能回到P，粒子與擋板碰撞后，速度方向應(yīng)與SM連線平行，每碰撞一次，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)在y軸上這段距離$△{y}_{2}^{\;}$，可由題給條件，有$\frac{\frac{△{y}_{2}^{\;}}{2}}{\frac{L}{3}}=tanθ$，得$△{y}_{2}^{\;}=\frac{L}{3}$，當(dāng)粒子只碰二次，其幾何條件是$3△{y}_{1}^{\;}-2△{y}_{2}^{\;}=2L$，解得${R}_{3}^{\;}=\frac{2\sqrt{5}}{9}L$
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{3}^{\;}}$解得：$v=\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$
答：（1）帶電粒子的速度為$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$帶電粒子能由M點(diǎn)直接運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)；
（2）如果帶電粒子能由M點(diǎn)直接運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，則帶電粒子第一次通過(guò)x軸時(shí)距離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為$\frac{L}{2}$；
（3）帶電粒子的速度為$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$時(shí)，帶電粒子與絕緣板碰撞兩次且能回到S點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于三小問(wèn)，關(guān)鍵作出三種粒子的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解，難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)幾何的關(guān)系要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．