Question

如圖甲所示，“月”字形軌道的每一短邊的長(zhǎng)度都等于a，只有三根平行的短邊有電阻，阻值都是r，不計(jì)其它各邊電阻．使導(dǎo)軌平面與水平面成夾角θ固定放置，如圖乙所示．一根質(zhì)量為m的條形磁鐵，其橫截面是邊長(zhǎng)為a的正方形，磁鐵與導(dǎo)軌間的摩擦不計(jì)，磁鐵與導(dǎo)軌間絕緣．假定導(dǎo)軌區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)全部集中在磁鐵的端面，并可近似為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直導(dǎo)軌平面．開(kāi)始時(shí)讓磁鐵從軌道上某一位置由靜止下滑，使磁鐵恰能勻速進(jìn)入正方形2．在磁鐵從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到其端面與正方形1重合的過(guò)程中，求：（已知重力加速度為g）
（1）磁鐵下滑時(shí)離正方形2上邊的距離S；
（2）上述過(guò)程中通過(guò)MN邊的感應(yīng)電荷量q；
（3）上述過(guò)程中所有電阻產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析：（1）磁鐵勻速進(jìn)入正方形2過(guò)程，線框2產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，畫(huà)出等效電路圖，由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力公式求出切割磁感線受到的安培力，由牛頓第三定律得到磁鐵所受的安培力．由于磁鐵勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件列式，求出磁鐵勻速運(yùn)動(dòng)的速度，即可由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出S．
（2）當(dāng)磁鐵進(jìn)入正方形1時(shí)，仍以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出整個(gè)過(guò)程磁鐵運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t．根據(jù)平衡條件求出感應(yīng)電流I，電量為q=

1

2

It．
（3）根據(jù)能量守恒求所有電阻產(chǎn)生的熱量Q．

解答：解：（1）設(shè)磁鐵勻速進(jìn)入正方形2的速度為v，等效電路如圖所示．
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=Bav
總電阻：R=r+

r

2

=

3

2

r
感應(yīng)電流：I=

E

R

=

2Bav

3r

切割磁感線的短邊受到的安培力：F=BIa=

2B2a2v

3r

短邊受到的安培力與磁鐵受到的力是作用力與反作用力．
根據(jù)平衡條件得：mgsinθ=F
聯(lián)立①-⑤解得：v=

3mgrsinθ

2B2a2

由機(jī)械能守恒：mgssinθ=

1

2

mv2
解得：s=

9m2gr2sinθ

8B4a4

（2）解法一：當(dāng)磁鐵進(jìn)入正方形1時(shí)，仍以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
整個(gè)過(guò)程磁鐵運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間：t=

2a

v

解得：t=

4B2a3

3mgrsinθ

根據(jù)平衡條件得：mgsinθ=BIa
解得：I=

mgsinθ

Ba

則通過(guò)MN邊的感應(yīng)電荷量：q=

1

2

It=

2Ba2

3r

解法二：磁鐵剛好全部進(jìn)入正方形2時(shí)，通過(guò)閉合回路的總的感應(yīng)電荷量為：q′=It1=

Ba2

R

=

2Ba2

3r

此過(guò)程通過(guò)MN的感應(yīng)電荷量是：q1=

1

2

q′=

Ba2

3r

磁鐵從正方形2全部進(jìn)入正方形1的過(guò)程，同理可得：q2=

1

2

q′=

Ba2

3r

∴q=q1+q2=

2Ba2

3r

（3）根據(jù)能量守恒定律得：Q=2mgasinθ    
答：（1）磁鐵下滑時(shí)離正方形2上邊的距離S為

9m2gr2sinθ

8B4a4

；
（2）上述過(guò)程中通過(guò)MN邊的感應(yīng)電荷量q為

2Ba2

3r

；
（3）上述過(guò)程中所有電阻產(chǎn)生的熱量Q為2mgasinθ．

點(diǎn)評(píng)：本題打破常規(guī)，是磁鐵運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體不動(dòng)，仍然運(yùn)用電磁感應(yīng)的基本規(guī)律：法拉第定律、歐姆定律、安培力公式，結(jié)合平衡條件和能量守恒進(jìn)行求解．