Question

20．如圖所示，一根不可伸長的輕繩兩端各系一個小球a和b，跨在兩根固定于高度為H的光滑水平細(xì)桿A、B上，b球與B點(diǎn)距離為L，質(zhì)量為4m的a球置于地面上，質(zhì)量為m的b球從水平位置靜止釋放．
（1）a球?qū)Φ孛娴淖钚�壓力為多大�?br />（2）b球向下擺動的角度θ為多大時重力對b球做功的功率最大
（3）已知細(xì)線能承受的最大拉力為F_m，現(xiàn)給b球豎直向下的初速度，當(dāng)b球運(yùn)動到B正下方時細(xì)線恰被拉斷，求b球落地點(diǎn)與B點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)b球擺到最低點(diǎn)時，拉力最大，a球?qū)Φ孛娴膲毫ψ钚�，根�?jù)動能定理和牛頓第二定理求出最大拉力，對a球分析，根據(jù)平衡求出最小支持力，從而得出最小壓力．
（2）根據(jù)動能定理求出b球擺到角度θ時的速度，結(jié)合瞬時功率的公式求出重力的瞬時功率表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識得出θ為多大時，功率最大．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最低點(diǎn)的速度，結(jié)合平拋運(yùn)動的時間求出水平位移，根據(jù)平行四邊形定則求出b球落地點(diǎn)與B點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）當(dāng)b球擺到最低點(diǎn)時，繩子的拉力最大，a球?qū)Φ孛娴膲毫ψ钚。?br />根據(jù)動能定理得，mgL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gL}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，解得F=3mg，
對a球分析，根據(jù)平衡有F+N=4mg，解得N=mg，
根據(jù)牛頓第三定律知，a球?qū)Φ孛娴淖钚�壓力為mg．
（2）向下擺動的角度為θ時，根據(jù)動能定理得，$mgLsinθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gLsinθ}$，
則重力的瞬時功率P=mgvcosθ=mg$\sqrt{2gLsinθ}$cosθ，
根據(jù)數(shù)學(xué)知識得，當(dāng)sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，P有最大值，θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）b球在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有：${F}_{m}-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$，解得v=$\sqrt{\frac{（{F}_{m}-mg）L}{m}}$，
平拋運(yùn)動的時間$t=\sqrt{\frac{2（H-L）}{g}}$，
平拋運(yùn)動的水平位移x=vt=$\sqrt{\frac{2（H-L）（{F}_{m}-mg）L}{mg}}$，
b球落地點(diǎn)與B點(diǎn)的距離s=$\sqrt{{x}^{2}+（H-L）^{2}}$=$\sqrt{\frac{2（H-L）（{F}_{m}-mg）L}{mg}+（H-L）^{2}}$．
答：（1）a球?qū)Φ孛娴淖钚�壓力為mg；
（2）b球向下擺動的角度θ為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，重力對b球做功的功率最大；
（3）b球落地點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為$\sqrt{\frac{2（H-L）（{F}_{m}-mg）L}{mg}+（H-L）^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓周運(yùn)動和平拋運(yùn)動的綜合運(yùn)動員，知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，以及圓周運(yùn)動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．