Question

19．某同學(xué)在學(xué)習(xí)電磁感應(yīng)后，認(rèn)為 電磁阻尼能夠承擔(dān)電梯減速時(shí)大部分制動(dòng)的負(fù)荷，從而減小傳統(tǒng)制動(dòng)器的磨損． 如圖1所示，是該同 學(xué)設(shè)計(jì)的電磁阻尼制動(dòng)器的原理圖．電梯箱與配 重質(zhì)量都為 M，通過高強(qiáng)度繩子套在半徑r_l的承重轉(zhuǎn)盤上，且繩子與轉(zhuǎn)盤之間不打滑．承重轉(zhuǎn)盤通過固定轉(zhuǎn)軸與制動(dòng)轉(zhuǎn)盤相連． 制動(dòng)轉(zhuǎn)盤上固定了半徑為 r₂和 r₃ 的內(nèi)外兩個(gè)金屬圈（ 如圖2），金屬圈內(nèi)阻不計(jì)． 兩金屬圈之間用三根互成 120°的輻向?qū)�體棒連接，每根導(dǎo)體棒電阻均為R． 制動(dòng)轉(zhuǎn)盤放置在一對(duì)勵(lì)磁線圈之間，勵(lì)磁線圈產(chǎn)生垂直于制動(dòng)轉(zhuǎn)盤的勻強(qiáng)磁場（ 磁感應(yīng)強(qiáng)度為B），磁場區(qū)域限制在120°輻向角內(nèi)，如圖2陰影區(qū)所示． 若電梯箱內(nèi)放置質(zhì)量為m的貨物一起以速度v豎直上升，電梯箱離終點(diǎn)（圖中未畫出） 高度為 h 時(shí)關(guān)閉動(dòng)力系統(tǒng)，僅開啟電磁制動(dòng)，一段時(shí)間后，電梯箱恰好到達(dá)終點(diǎn)．

（1）若在開啟電磁制動(dòng)瞬間，三根金屬棒的位置剛好在圖 2 所示位置，則此時(shí)制動(dòng)轉(zhuǎn)盤上的電動(dòng)勢 E為多少？此時(shí)a與 b之間的電勢差有多大？
（2）若忽略轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量，且不計(jì)其它阻力影響，則在上述制動(dòng)過程中，制動(dòng)轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生的熱量是多少？
（3）若要提高制動(dòng)的效果，試對(duì)上述設(shè)計(jì)做出二處改進(jìn)．

Answer 1

分析 （1）先有同軸轉(zhuǎn)動(dòng)求得角速度，再由法拉第電磁感應(yīng)定律求得電動(dòng)勢，進(jìn)而根據(jù)電路求得電流及路端電壓；
（2）由能量守恒直接求取產(chǎn)熱；
（3）由（1）求得速度為v時(shí)的電功率，然后根據(jù)電功率公式得到改進(jìn)方案．

解答 解：（1）在開啟電磁制動(dòng)瞬間，承重轉(zhuǎn)盤的線速度為v，所以，角速度$ω=\frac{v}{{r}_{1}}$，所以，制動(dòng)轉(zhuǎn)盤的角速度$ω=\frac{v}{{r}_{1}}$，
三根金屬棒的位置剛好在圖 2 所示位置，則fe切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B•△S}{△t}$=$\frac{Bv（{{r}_{3}}^{2}-{{r}_{2}}^{2}）}{2{r}_{1}}$；
所以干路中的電流$I=\frac{E}{R+\frac{R×R}{R+R}}=\frac{2E}{3R}$，
那么此時(shí)a與 b之間的電勢差即為路端電壓$U=E-IR=\frac{1}{3}E=\frac{Bv（{{r}_{3}}^{2}-{{r}_{2}}^{2}）}{6{r}_{1}}$；
（2）電梯箱與配重用繩子連接，速度相同；由能量守恒可得：$\frac{1}{2}（m+2M）{v}^{2}=（m+M）gh-Mgh+Q$；
所以，$Q=\frac{1}{2}（m+2M）{v}^{2}-mgh$；
（3）若要提高制動(dòng)的效果，那么在相同速度下，要使h減小，則要使制動(dòng)轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生的熱量增加，即在相同速度下電功率增大；
由（1）可得，速度為v時(shí)的電功率$P=\frac{{E}^{2}}{\frac{3}{2}R}=\frac{{B}^{2}{v}^{2}（{{r}_{3}}^{2}-{{r}_{2}}^{2}）^{2}}{6R{{r}_{1}}^{2}}$；
所以，若要提高制動(dòng)的效果，可增加外金屬圈的半徑r₃或減小內(nèi)金屬圈的半徑r₂或減小金屬棒的電阻或減小承重盤的半徑r₁．
答：（1）若在開啟電磁制動(dòng)瞬間，三根金屬棒的位置剛好在圖 2 所示位置，則此時(shí)制動(dòng)轉(zhuǎn)盤上的電動(dòng)勢 E為$\frac{Bv（{{r}_{3}}^{2}-{{r}_{2}}^{2}）}{2{r}_{1}}$，此時(shí)a與 b之間的電勢差為$\frac{Bv（{{r}_{3}}^{2}-{{r}_{2}}^{2}）}{6{r}_{1}}$；
（2）若忽略轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量，且不計(jì)其它阻力影響，則在上述制動(dòng)過程中，制動(dòng)轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{2}（m+2M）{v}^{2}-mgh$；
（3）若要提高制動(dòng)的效果，可對(duì)上述設(shè)計(jì)做出改進(jìn)：增加外金屬圈的半徑r₃或減小內(nèi)金屬圈的半徑r₂．

點(diǎn)評(píng) 在閉合電路切割磁感線的問題中，通過磁通量的變化求電動(dòng)勢時(shí)，若電路為并聯(lián)電路，可簡化：把外電路擺在導(dǎo)體棒的一邊，因此，只需要考慮導(dǎo)體棒一側(cè)的磁通量變化．