Question

某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為s．比賽時(shí)．某同學(xué)將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到v₀時(shí)，再以v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)跑至終點(diǎn)．整個(gè)過(guò)程中球一直保持在球拍中心不動(dòng)．比賽中，該同學(xué)在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示，設(shè)球在運(yùn)動(dòng)中受到的空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，不計(jì)球與球拍之間的摩擦，球的質(zhì)量為m，重力加速度為g．
（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k；
（2）求在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關(guān)系式；
（3）整個(gè)勻速跑階段，若該同學(xué)速度仍為v₀，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計(jì)球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力變化，為保證到達(dá)終點(diǎn)前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

（1）在勻速運(yùn)動(dòng)階段，有mgtanθ₀=kv₀
得k=

mgtanθ0

v0

（2）加速階段，設(shè)球拍對(duì)球的支持力為N′，有
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=

a

g

+

v

v0

tanθ₀
（3）以速度v₀勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)空氣阻力與重力的合力為F，有F=

mg

cosθ0

球拍傾角為θ₀+β時(shí)，空氣阻力與重力的合力不變，設(shè)球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，有
Fsinβ=ma′
設(shè)勻速跑階段所用時(shí)間為t，有t=

s

v0

-

v0

2a

球不從球拍上掉落的條件

1

2

a′t²≤r
得sinβ≤

2rcosθ0

g( s v0 - v0 2a )2

答：（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k為

mgtanθ0

v0

；
（2）在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關(guān)系式為tanθ=

a

g

+

v

v0

tanθ₀；
（3）β應(yīng)滿足的條件為sinβ≤

2rcosθ0

g( s v0 - v0 2a )2

．