Question

如圖所示，在坐標系xOy內有一半徑為R的圓形勻強磁場區(qū)域，圓心O₁坐標為（0，
R），磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向外．在虛線x=R的右側區(qū)域內，有一場強大小為E，沿x軸負方向的勻強電場．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，以速度v從O點垂直于磁場方向射入圓形磁場區(qū)域，不計粒子重力．
（1）若速度v方向沿y軸正方向時，粒子恰好從坐標為（R，R）的A點射出磁場，求粒子射入磁場時速度v的大��；
（2）若粒子仍以速度v沿與y軸正方向夾角θ=30°方向從O點射入第二象限（如圖所示），求粒子第一次離開磁場時速度方向及出射點P（圖中未畫出）到y(tǒng)軸的距離x_P；
（3）求在（2）問中粒子從射入磁場到最終離開磁場所通過的路程s．

Answer 1

分析：（1）粒子正對磁場圓心射入，則粒子射出磁場時速度反向延長線仍經過圓心，根據幾何關系求解即可；
（2）畫出粒子在磁場中運動軌跡，根據幾何關系求出粒子的半徑和轉過的圓心角即可；
（3）根據幾何關系，確定粒子運動軌跡，然后分過程根據運動特征分過程求解粒子運動的路程．

解答：解：（1）粒子進入磁場后做勻速圓周運動qvB=m

v2

r

…①
由幾何關系得r=R… ②
由①②得v=

qBR

m

…③
（2）如圖所示，粒子射入磁場后，在磁場中以O₂為圓心做勻速圓周運動，從P第一次射出磁場，圖中OO₂ PO₁是邊長為R的菱形，PO₂平行于y軸，故粒子射出磁場后速度沿x軸正方向．
由幾何關系得θ₁=120°
  所以xP=Rsin60°=

3

2

R…④
（3）粒子從O運動到P的路程s1=

θ1

360°

2πR…⑤
粒子從離開磁場到進入電場的路程s₂=R-x_P …⑥
粒子在電場中先勻減速運動到速度為零，然后反向勻加速回來，
a=

qE

m

…⑦
s3=

v2

2a

…⑧
粒子再次射入磁場后，在磁場中以O₃為圓心做勻速圓周運動直到離開磁場
由幾何關系得θ₂=60°
故s4=

60°

360°

2πR…⑨
s=s₁+2s₂+2s₃+s₄ …⑩
由③～⑩解得：s=(2+π-

3

)R+

qB2R2

mE

答：（1）若速度v方向沿y軸正方向時，粒子恰好從坐標為（R，R）的A點射出磁場，粒子射入磁場時速度v=

qBR

m

；
（2）若粒子仍以速度v沿與y軸正方向夾角θ=30°方向從O點射入第二象限（如圖所示），粒子第一次離開磁場時速度方向及出射點P（圖中未畫出）到y(tǒng)軸的距離xP=Rsin60°=

3

2

R；
（3）求在（2）問中粒子從射入磁場到最終離開磁場所通過的路程s=(2+π-

3

)R+

qB2R2

mE

點評：解決此類問題的關鍵是靈活運用幾何知識，在圖象中作出粒子運動的軌跡，根據幾何關系抓住粒子做圓周運動時洛倫茲力提供向心力展開討論即可．正確作出粒子運動軌跡是解決本題的關鍵．