Question

如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，圓心O₁坐標(biāo)為（0，
R），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外．在虛線x=R的右側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一場(chǎng)強(qiáng)大小為E，沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子重力．
（1）若速度v方向沿y軸正方向時(shí)，粒子恰好從坐標(biāo)為（R，R）的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大��；
（2）若粒子仍以速度v沿與y軸正方向夾角θ=30°方向從O點(diǎn)射入第二象限（如圖所示），求粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向及出射點(diǎn)P（圖中未畫(huà)出）到y(tǒng)軸的距離x_P；
（3）求在（2）問(wèn)中粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)所通過(guò)的路程s．

Answer 1

分析：（1）粒子正對(duì)磁場(chǎng)圓心射入，則粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度反向延長(zhǎng)線仍經(jīng)過(guò)圓心，根據(jù)幾何關(guān)系求解即可；
（2）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子的半徑和轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角即可；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系，確定粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，然后分過(guò)程根據(jù)運(yùn)動(dòng)特征分過(guò)程求解粒子運(yùn)動(dòng)的路程．

解答：解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)qvB=m

v2

r

…①
由幾何關(guān)系得r=R… ②
由①②得v=

qBR

m

…③
（2）如圖所示，粒子射入磁場(chǎng)后，在磁場(chǎng)中以O(shè)₂為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從P第一次射出磁場(chǎng)，圖中OO₂ PO₁是邊長(zhǎng)為R的菱形，PO₂平行于y軸，故粒子射出磁場(chǎng)后速度沿x軸正方向．
由幾何關(guān)系得θ₁=120°
  所以xP=Rsin60°=

3

2

R…④
（3）粒子從O運(yùn)動(dòng)到P的路程s1=

θ1

360°

2πR…⑤
粒子從離開(kāi)磁場(chǎng)到進(jìn)入電場(chǎng)的路程s₂=R-x_P …⑥
粒子在電場(chǎng)中先勻減速運(yùn)動(dòng)到速度為零，然后反向勻加速回來(lái)，
a=

qE

m

…⑦
s3=

v2

2a

…⑧
粒子再次射入磁場(chǎng)后，在磁場(chǎng)中以O(shè)₃為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)直到離開(kāi)磁場(chǎng)
由幾何關(guān)系得θ₂=60°
故s4=

60°

360°

2πR…⑨
s=s₁+2s₂+2s₃+s₄ …⑩
由③～⑩解得：s=(2+π-

3

)R+

qB2R2

mE

答：（1）若速度v方向沿y軸正方向時(shí)，粒子恰好從坐標(biāo)為（R，R）的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度v=

qBR

m

；
（2）若粒子仍以速度v沿與y軸正方向夾角θ=30°方向從O點(diǎn)射入第二象限（如圖所示），粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向及出射點(diǎn)P（圖中未畫(huà)出）到y(tǒng)軸的距離xP=Rsin60°=

3

2

R；
（3）求在（2）問(wèn)中粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)所通過(guò)的路程s=(2+π-

3

)R+

qB2R2

mE

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用幾何知識(shí)，在圖象中作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系抓住粒子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力展開(kāi)討論即可．正確作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解決本題的關(guān)鍵．