Question

質(zhì)量為m的小球懸掛于O點(diǎn)，懸線長(zhǎng)為l，如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy，y軸沿懸線豎直向下．現(xiàn)將小球拉到（l，0）點(diǎn)后無(wú)初速釋放，不計(jì)空氣阻力和釘子的直徑，試計(jì)算：
（1）如果在（0，l）點(diǎn)釘一枚釘子可以擋住細(xì)線，那么細(xì)線剛碰到釘子后對(duì)小球的拉力是多大？
（2）如果將釘子釘在y=

l

2

的水平虛線上某位置，要求細(xì)線碰到釘子后能夠繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)，那么釘子所釘?shù)奈恢玫臋M坐標(biāo)x應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解出最低點(diǎn)速度，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）碰釘子后的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小越容易滿足條件；根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律分別列式后聯(lián)立求解出臨界半徑．

解答：解：（1）設(shè)小球擺到豎直位置時(shí)速度大小為v．
由機(jī)械能守恒得：mgl=

1

2

mv2；
與釘子碰后：F-mg=m

v2

1 2 r

；
解得：F=5mg；
（2）設(shè)小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)繞釘子轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為r′，在最高點(diǎn)的速度大小為v′
則在最高點(diǎn)，有mg=m

v′2

r′

由機(jī)械能守恒：mg（

1

2

l-r′）=

1

2

mv′2
聯(lián)立解得：r′=

1

3

l
設(shè)釘子橫坐標(biāo)x₁，根據(jù)幾何關(guān)系，有：
 

x

2 1

+(

l

2

)2=（l-r′）²，
解得x₁=±

7

6

l
由于釘子必定在以O(shè)圓心半徑為l的圓內(nèi)，設(shè)直線y=

1

2

l與該圓的交戰(zhàn)橫坐標(biāo)為x₂，則有
 

x

2 2

+(

1

2

l)2=l² 
解得x₂=±

3

2

l
所以要使小球夠繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)，釘子在直線y=

l

2

的橫坐標(biāo)范圍為：-

3

2

l＜x≤-

7

6

l或

7

6

l≤x＜

3

2

l
答：（1）當(dāng)釘子在（0，

l

2

）點(diǎn)時(shí)，細(xì)線剛碰到釘子時(shí)的拉力為5mg；
（2）釘子所釘?shù)奈恢玫臋M坐標(biāo)x的范圍為：-

3

2

l＜x≤-

7

6

l或

7

6

l≤x＜

3

2

l．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵找出臨界過(guò)程，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律列式后聯(lián)立求解，不難．