Question

試根據(jù)開(kāi)普勒第三定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律證明太陽(yáng)與行星間的引力大小與太陽(yáng)的質(zhì)量和行星的質(zhì)量的乘積成正比，與兩者距離的二次方成反比（提示：可將行星的運(yùn)動(dòng)看作是以太陽(yáng)為圓心的勻速圓周運(yùn)動(dòng)）．

Answer 1

分析：星繞太陽(yáng)能做圓周運(yùn)動(dòng)，是由引力提供向心力來(lái)實(shí)現(xiàn)的．再由開(kāi)普勒第三定律可推導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律．由圓周運(yùn)動(dòng)可算出向心加速度大小，再將月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與地球表面重力加速度進(jìn)行比較，從而證明：重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力．

解答：解：設(shè)行星的質(zhì)量為m，太陽(yáng)質(zhì)量為M，行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T，太陽(yáng)對(duì)行星的引力為F．
太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供行星運(yùn)動(dòng)的向心力F=m（

2π

T

）²R=

4π2m

T2

R
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律

R3

T2

=K得：T²=

R3

K

故F=

4π2mK

R2

根據(jù)牛頓第三定律，行星和太陽(yáng)間的引力是相互的，太陽(yáng)對(duì)行星的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，反過(guò)來(lái)，行星對(duì)太陽(yáng)的引力大小與也與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比．所以太陽(yáng)對(duì)行星的引力F∝

Mm

R2

寫成等式有F=

GMm

R2

（G為常量）．
即：太陽(yáng)與行星間的引力大小與太陽(yáng)的質(zhì)量和行星的質(zhì)量的乘積成正比，與兩者距離的二次方成反比．

點(diǎn)評(píng)：本題考查萬(wàn)有引力定律公式通過(guò)理論進(jìn)行科學(xué)、合理的推導(dǎo)．